Idea central: un vector describe un desplazamiento en el plano.

Un vector en el plano ℝ² es un segmento dirigido determinado por dos puntos:

• un punto inicial A (cola)
• un punto final B (cabeza)

Se denota por AB y representa el desplazamiento desde A hasta B.

Para representar un vector:

1. Ubicas el punto A
2. Ubicas el punto B
3. Dibujas un segmento desde A hasta B
4. Indicas el sentido con una flecha hacia B

Ese dibujo no es el vector en sí, sino una representación del vector.

Si:

A = (x₁, y₁),    B = (x₂, y₂)

entonces el vector AB se expresa como:

Estas coordenadas indican el cambio horizontal y vertical.

Si AB = (a, b), entonces:

• a indica cuánto te desplazas en horizontal
• b indica cuánto te desplazas en vertical

Ejemplo:

AB = (3, -2)

• 3 unidades a la derecha
• 2 unidades hacia abajo

AB ≠ BA

Cambiar el orden cambia completamente el vector:

AB = (x₂ – x₁, y₂ – y₁)
BA = (x₁ – x₂, y₁ – y₂)

El vector no es el punto B.

Es el cambio necesario para ir de A hasta B.

Sea:

A = (2,1),    B = (5,4)

AB = (5−2, 4−1) = (3,3)

Interpretación:
• 3 a la derecha
• 3 hacia arriba

❌ Pensar que el vector es el punto final
❌ Olvidar el orden de los puntos
❌ No interpretar las coordenadas como desplazamiento
❌ Dibujar sin sentido de dirección

Idea clave: la magnitud de un vector mide la distancia entre su punto inicial y su punto final.

Sea un vector AB donde:

A = (x₁, y₁)
B = (x₂, y₂)

Queremos medir la longitud del segmento que une A con B.

Observamos que el vector forma un triángulo rectángulo:

• Cateto horizontal: x₂ – x₁
• Cateto vertical: y₂ – y₁

Estos representan los desplazamientos en cada eje.

La longitud del vector es:

||AB|| = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

Esta expresión corresponde a la hipotenusa del triángulo.

Si el vector se expresa como:

AB = (a, b)

entonces:

||AB|| = √(a² + b²)

Sea:

A = (1,2),    B = (4,6)

AB = (3,4)

||AB|| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

El vector mide 5 unidades.

La magnitud indica qué tan largo es el desplazamiento.

No depende de la posición, solo del tamaño del vector.

❌ Olvidar restar las coordenadas
❌ No elevar al cuadrado
❌ Confundir magnitud con coordenadas
❌ No interpretar geométricamente

La magnitud de un vector se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes.

Idea clave: la dirección de un vector indica la inclinación de la recta sobre la que se encuentra.

La dirección de un vector corresponde a la recta que lo contiene.

Dos vectores tienen la misma dirección si son paralelos.

Si un vector es:

v = (a, b)

Entonces su dirección depende de la relación entre:

• el cambio horizontal (a)
• el cambio vertical (b)

Si a ≠ 0:

m = b / a

La pendiente indica qué tan inclinado está el vector.

Si a = 0, el vector es vertical y no tiene pendiente definida.

También podemos describir la dirección mediante un ángulo θ medido desde el eje x positivo.

tan(θ) = b / a

Este ángulo indica hacia dónde apunta el vector.

Sea:

v = (2,2)

Pendiente:
m = 2 / 2 = 1

Ángulo:
θ = 45°

El vector sube con la misma inclinación que una diagonal.

La dirección no depende del tamaño del vector, sino de su inclinación.

❌ Confundir dirección con sentido
❌ Olvidar que vectores paralelos tienen la misma dirección
❌ No distinguir entre pendiente y magnitud
❌ No considerar el caso vertical

La dirección de un vector describe su inclinación y puede representarse mediante la pendiente o un ángulo.

Idea clave: la dirección indica la inclinación, pero el sentido indica hacia dónde apunta el vector.

El sentido de un vector está determinado por el orden de los puntos:

• va desde la cola hacia la cabeza
• indica la orientación del movimiento

Si A y B son puntos:

AB → va de A hacia B
BA → va de B hacia A

⚠️ AB y BA tienen la misma dirección pero sentido contrario.

El sentido indica hacia dónde se realiza el desplazamiento:

• derecha o izquierda
• arriba o abajo
• o cualquier combinación de ambos

La línea de acción de un vector es la recta que contiene al vector.

Es decir:

• el vector está sobre una recta
• esa recta determina su dirección

Todos los vectores que estén sobre esa misma recta tienen la misma dirección.

Un vector queda determinado por:

• magnitud → tamaño
• dirección → inclinación
• sentido → orientación
• línea de acción → recta que lo contiene

Si AB = (3,2):

• dirección → inclinación positiva
• sentido → hacia la derecha y hacia arriba
• línea de acción → recta con pendiente 2/3

❌ Confundir dirección con sentido
❌ Pensar que AB y BA son iguales
❌ No identificar la recta que contiene al vector
❌ Creer que la línea de acción cambia el vector

La dirección indica cómo está inclinado el vector, el sentido indica hacia dónde apunta y la línea de acción es la recta sobre la que se encuentra.

Instrucción: intenta primero y luego verifica tu respuesta.

Ejercicio 1:
A = (1,2), B = (4,5)

Encuentra el vector AB

Ejercicio 2:
A = (2,3), B = (6,1)

Encuentra AB

Ejercicio 3:
Sea AB = (5, -3)

Describe el desplazamiento

Ejercicio 4:
A = (1,1), B = (4,5)

Calcula la magnitud de AB

Ejercicio 5:
Sea v = (2,4)

Encuentra la pendiente del vector

Ejercicio 6:
Compara los vectores AB y BA si A = (1,2), B = (4,6)

Ejercicio 7:
¿Los vectores (2,2) y (4,4) tienen la misma dirección? Explica.

Ejercicio 8:
Sea v = (3,2)

Describe:
• su dirección (pendiente)
• su sentido
• su línea de acción

Conclusión:
Un vector no es solo un par de números: describe un desplazamiento con tamaño, inclinación y orientación en el plano.

Idea clave: un vector transforma un punto en otro.

Si A = (x, y) y v = (a, b), entonces el punto final es:

Ejercicio 1:
A = (2,3), v = (4,1)

Encuentra el punto B

Ejercicio 2:
A = (−1,2), v = (3,−5)

Encuentra B

Ejercicio 3:
A = (1,1), B = (5,4)

Encuentra el vector AB

Ejercicio 4:
A = (3,2), B = (−1,5)

Encuentra AB

Ejercicio 5:
A = (2,−1), B = (7,3)

Encuentra el vector AB y verifica que lleva de A a B

Ejercicio 6:
Se sabe que AB = (3,−2) y A = (1,4)

Encuentra B

Ejercicio 7:
Encuentra un punto B tal que:

A = (0,0) y AB = (−2,5)

Ejercicio 8:
Dados A = (1,2) y AB = (4,−3), describe el movimiento en palabras

Conclusión:
Un vector permite transformar un punto en otro mediante un desplazamiento.

Instrucción: trabaja de forma ordenada, mostrando cada paso.

1. A = (2,3), B = (7,5) → encuentra AB
2. A = (−1,4), B = (3,−2) → encuentra AB
3. A = (0,0), B = (5,−3) → encuentra AB
4. A = (4,−2), B = (1,3) → encuentra AB

Describe cada vector:

1. (3,2)
2. (−4,1)
3. (0,5)
4. (−2,−3)

Calcula la magnitud:

1. (3,4)
2. (5,12)
3. (1,1)
4. (−6,8)

Encuentra la pendiente:

1. (2,4)
2. (3,−6)
3. (5,0)
4. (0,3)

Determina el sentido del vector:

1. (4,2)
2. (−3,5)
3. (−2,−4)
4. (0,−6)

Responde:

1. ¿(2,2) y (4,4) tienen la misma dirección?
2. ¿(3,−3) y (−3,3) tienen el mismo sentido?
3. ¿(1,2) y (2,4) tienen la misma magnitud?

Conclusión:
Un vector en ℝ² se trabaja como un par ordenado que describe un desplazamiento y permite analizar magnitud, dirección y sentido de forma algebraica.