Trinomio General
Factorización paso a paso de expresiones de la forma ax² + bx + c.
Cuando el coeficiente de x² no es 1, ya no basta con buscar dos números que sumen b y multipliquen c.
En este caso usamos un método más general:
multiplicamos a·c, buscamos dos números, separamos el término del medio, agrupamos y factorizamos.
1. Forma general
Queremos factorizar expresiones de la forma:
ax² + bx + c
donde:
- a es el coeficiente de x²,
- b es el coeficiente de x,
- c es el término independiente.
2. Método completo paso a paso
- Ordenar el polinomio.
- Completar si hace falta.
- Identificar los valores de a, b y c.
- Multiplicar a · c.
- Buscar dos números que:
- multipliquen a · c,
- sumen b.
- Separar el término del medio usando esos dos números.
- Agrupar en dos parejas.
- Sacar factor común en cada grupo.
- Sacar el factor común final.
- Verificar multiplicando si hace falta.
3. Ejemplo completo
Factorizar:
2x² + 7x + 3
Paso a paso
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado: 2x² + 7x + 3
Paso 2. Completar
No hace falta completar porque tiene sus tres términos.
Paso 3. Identificar a, b y c
a = 2, b = 7, c = 3
Paso 4. Multiplicar a · c
2 · 3 = 6
Paso 5. Buscar dos números
Buscamos dos números que:
✔ multipliquen 6
✔ sumen 7
Esos números son: 6 y 1
Paso 6. Separar el término del medio
7x = 6x + x
Entonces:
2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3
Paso 7. Agrupar
(2x² + 6x) + (x + 3)
Paso 8. Sacar factor común en cada grupo
Del primer grupo:
2x² + 6x = 2x(x + 3)
Del segundo grupo:
x + 3 = 1(x + 3)
Entonces queda:
2x(x + 3) + 1(x + 3)
Paso 9. Sacar factor común final
Ambos términos tienen el factor (x + 3).
Entonces:
(2x + 1)(x + 3)
Paso 10. Verificar
(2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3
Resultado final: (2x + 1)(x + 3)
4. Segundo ejemplo
Factorizar:
3x² + 11x + 6
Paso 1. Identificar
a = 3, b = 11, c = 6
Paso 2. Multiplicar a · c
3 · 6 = 18
Paso 3. Buscar dos números
9 y 2, porque 9 · 2 = 18 y 9 + 2 = 11
Paso 4. Separar el término del medio
3x² + 9x + 2x + 6
Paso 5. Agrupar
(3x² + 9x) + (2x + 6)
Paso 6. Sacar factor común
3x(x + 3) + 2(x + 3)
Paso 7. Sacar factor común final
(3x + 2)(x + 3)
Resultado final: (3x + 2)(x + 3)
5. Ejemplo con signo negativo
Factorizar:
2x² – x – 6
Paso 1. Identificar
a = 2, b = -1, c = -6
Paso 2. Multiplicar a · c
2 · (-6) = -12
Paso 3. Buscar dos números
-4 y 3, porque (-4)(3) = -12 y -4 + 3 = -1
Paso 4. Separar el término del medio
2x² – 4x + 3x – 6
Paso 5. Agrupar
(2x² – 4x) + (3x – 6)
Paso 6. Sacar factor común
2x(x – 2) + 3(x – 2)
Paso 7. Sacar factor común final
(2x + 3)(x – 2)
Resultado final: (2x + 3)(x – 2)
6. Ejemplo donde hay que completar
Factorizar:
2x² – 8
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.
Paso 2. Completar
2x² + 0x – 8
Paso 3. Identificar
a = 2, b = 0, c = -8
Paso 4. Multiplicar a · c
2 · (-8) = -16
Paso 5. Buscar dos números
4 y -4, porque 4(-4) = -16 y 4 + (-4) = 0
Paso 6. Separar el término del medio
2x² + 4x – 4x – 8
Paso 7. Agrupar
(2x² + 4x) + (-4x – 8)
Paso 8. Sacar factor común
2x(x + 2) – 4(x + 2)
Paso 9. Sacar factor común final
(2x – 4)(x + 2)
Paso 10. Simplificar más
2(x – 2)(x + 2)
Resultado final: 2(x – 2)(x + 2)
7. ¿Qué hacer si no aparecen los números?
A veces no existen números enteros o racionales que cumplan las dos condiciones.
Ejemplo: 2x² + x + 2
Aquí:
a = 2, c = 2 → a·c = 4
Buscamos dos números que multipliquen 4 y sumen 1.
No existen enteros que cumplan eso.
Entonces no se factoriza por este método en ℤ o ℚ.
8. Error más común
Muchos estudiantes encuentran bien los dos números, pero agrupan mal.
Ejemplo incorrecto:
2x² + 7x + 3 = (2x² + x) + (6x + 3)
Esa agrupación no permite sacar el mismo binomio.
La separación correcta debe permitir que aparezca el mismo paréntesis en ambos grupos.
9. Cómo saber si quedó bien
Después de sacar factor común en cada grupo, debe aparecer el mismo binomio.
Ejemplo:
2x(x + 3) + 1(x + 3)
Como aparece dos veces (x + 3), la agrupación fue correcta.
10. Frase guía
Multiplico a·c, busco dos números que reconstruyan el término del medio, separo, agrupo y saco factor común dos veces.
11. Conclusión final
El trinomio general no se factoriza por adivinación.
Se factoriza siguiendo una secuencia fija:
- identificar,
- multiplicar,
- buscar números,
- separar,
- agrupar,
- factorizar.
Ese orden hace que el método sea claro, estable y verificable.
Ejercicios: Trinomio General
Aplica el método completo: multiplica, busca, separa, agrupa y factoriza.
Ejercicio 1
2x² + 5x + 2
Ver solución paso a paso
a=2, b=5, c=2
a·c = 4
2 y 2 → suman 4 ❌
4 y 1 → suman 5 ✔
2x² + 4x + x + 2
(2x² + 4x) + (x + 2)
2x(x + 2) + 1(x + 2)
(2x + 1)(x + 2)
Ejercicio 2
3x² + 8x + 4
Ver solución paso a paso
a=3, b=8, c=4
a·c = 12
6 y 2 → suman 8 ✔
3x² + 6x + 2x + 4
(3x² + 6x) + (2x + 4)
3x(x + 2) + 2(x + 2)
(3x + 2)(x + 2)
Ejercicio 3
2x² + 9x + 4
Ver solución paso a paso
a·c = 8
8 y 1 → suman 9 ✔
2x² + 8x + x + 4
(2x² + 8x) + (x + 4)
2x(x + 4) + 1(x + 4)
(2x + 1)(x + 4)
Ejercicio 4
4x² + 4x – 3
Ver solución paso a paso
a·c = -12
6 y -2 → suman 4 ✔
4x² + 6x – 2x – 3
(4x² + 6x) + (-2x – 3)
2x(2x + 3) -1(2x + 3)
(2x – 1)(2x + 3)
Ejercicio 5
5x² + 7x + 2
Ver solución paso a paso
a·c = 10
5 y 2 → suman 7 ✔
5x² + 5x + 2x + 2
(5x² + 5x) + (2x + 2)
5x(x + 1) + 2(x + 1)
(5x + 2)(x + 1)
Ejercicio 6
6x² – x – 2
Ver solución paso a paso
a·c = -12
-4 y 3 → suman -1 ✔
6x² – 4x + 3x – 2
(6x² – 4x) + (3x – 2)
2x(3x – 2) + 1(3x – 2)
(2x + 1)(3x – 2)
Ejercicio 7
2x² + x + 5
Ver solución paso a paso
a·c = 10
No existen dos números que sumen 1 y multipliquen 10
Conclusión: irreducible en ℚ
El éxito no está en adivinar, está en seguir el método con orden.