Teorema del Residuo

Explicación completa, rigurosa y paso a paso

Idea central:
Cuando un polinomio se divide entre un divisor de la forma x – a, el residuo de esa división
se puede hallar sin hacer toda la división larga: basta con evaluar el polinomio en a.

Cuando dividimos un polinomio P(x) entre otro polinomio D(x), la división puede ser exacta o no.

En general, siempre se puede escribir:

P(x) = D(x)·Q(x) + R(x)

donde:

• Q(x) es el cociente,
• R(x) es el residuo.

Además, el residuo siempre tiene grado menor que el divisor.

Si el divisor tiene la forma:

x – a

entonces su grado es 1.

Como el residuo debe tener grado menor que el divisor, el residuo tendrá grado menor que 1.

Eso significa que el residuo no puede tener x. Por tanto, el residuo será una constante.

Teorema del residuo:

Si un polinomio P(x) se divide entre x – a, entonces el residuo de esa división es:

R = P(a)

Supongamos que queremos hallar el residuo de dividir un polinomio entre x – a.

En lugar de hacer toda la división larga, podemos:

1. identificar el valor de a,
2. reemplazar x = a en el polinomio,
3. calcular el valor numérico.

Ese valor será exactamente el residuo.

Supongamos que al dividir P(x) entre x – a obtenemos:

P(x) = (x – a)Q(x) + r

donde r es una constante, porque el residuo tiene grado menor que 1.

Ahora evaluamos en x = a:

P(a) = (a – a)Q(a) + r

Pero:

a – a = 0

Entonces:

P(a) = 0·Q(a) + r

P(a) = r

Como r es el residuo, queda demostrado que el residuo es P(a).

1. Escribir claramente el polinomio.
2. Si hace falta, ordenar el polinomio de mayor a menor grado.
3. Si faltan términos intermedios, completar con coeficiente 0.
4. Identificar el divisor.
5. Escribir el divisor en la forma x – a.
6. Determinar el valor de a.
7. Evaluar el polinomio en a.
8. Realizar potencias, luego productos y finalmente sumas/restas.
9. Concluir que ese número es el residuo.

Problema:
Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x² + 3x + 2

entre:

x – 1

Paso a paso

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x² + 3x + 2

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado de mayor a menor grado.

Paso 3. Completar

No faltan términos, así que no hace falta completar.

Paso 4. Identificar el divisor

x – 1

Paso 5. Comparar con la forma x – a

Aquí se ve directamente que: a = 1

Paso 6. Evaluar P(1)

P(1) = (1)² + 3(1) + 2

Paso 7. Calcular potencias

(1)² = 1

Paso 8. Calcular productos

3(1) = 3

Paso 9. Sumar

1 + 3 + 2 = 6

Conclusión: el residuo es 6.

Vamos a comprobarlo haciendo la división:

(x² + 3x + 2) ÷ (x – 1)

Primer paso: x² ÷ x = x

Multiplicamos: x(x – 1) = x² – x

Restamos: (x² + 3x + 2) – (x² – x) = 4x + 2

Siguiente paso: 4x ÷ x = 4

Multiplicamos: 4(x – 1) = 4x – 4

Restamos: (4x + 2) – (4x – 4) = 6

El residuo obtenido por división larga también es 6.

Problema:
Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x³ – 2x + 5

entre:

x + 2

Paso a paso

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x³ – 2x + 5

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

Falta el término en x², así que completamos:

x³ + 0x² – 2x + 5

Paso 4. Identificar el divisor

x + 2

Paso 5. Escribirlo como x – a

x + 2 = x – (-2)

Paso 6. Identificar a

a = -2

Paso 7. Evaluar P(-2)

P(-2) = (-2)³ + 0(-2)² – 2(-2) + 5

Paso 8. Calcular potencias

(-2)³ = -8,    (-2)² = 4

Paso 9. Calcular productos

0(4) = 0,    -2(-2) = 4

Paso 10. Sumar

-8 + 0 + 4 + 5 = 1

Conclusión: el residuo es 1.

Error muy común:
Si el divisor es x + 2, muchos estudiantes creen que deben evaluar en 2.

Eso es incorrecto.

Hay que escribir:

x + 2 = x – (-2)

Por tanto, se evalúa en:

x = -2

Problema:
Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x⁴ + 2x – 7

entre:

x – 3

Paso a paso

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x⁴ + 2x – 7

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

Faltan los términos en x³ y x², así que completamos:

x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x – 7

Paso 4. Identificar el divisor

x – 3

Paso 5. Comparar con x – a

a = 3

Paso 6. Evaluar P(3)

P(3) = 3⁴ + 0(3³) + 0(3²) + 2(3) – 7

Paso 7. Calcular potencias

3⁴ = 81,    3³ = 27,    3² = 9

Paso 8. Calcular productos

0(27) = 0,    0(9) = 0,    2(3) = 6

Paso 9. Sumar

81 + 0 + 0 + 6 – 7 = 80

Conclusión: el residuo es 80.

Si el residuo es 0, entonces la división es exacta.

Y como el teorema dice que el residuo es P(a), entonces:

Si P(a) = 0, la división entre x – a es exacta.

Esto será la base del teorema del factor.

1. Escribe el polinomio.
2. Ordénalo.
3. Complétalo si faltan términos.
4. Mira el divisor.
5. Escríbelo como x – a.
6. Determina el valor de a.
7. Evalúa P(a).
8. Ese resultado es el residuo.

Para hallar el residuo al dividir entre x – a, ordeno, completo si hace falta y luego evalúo el polinomio en a.

El teorema del residuo permite encontrar rápidamente el residuo de una división entre un divisor de la forma x – a.

En lugar de hacer toda la división larga, basta con evaluar el polinomio en a.

Esta idea conecta directamente evaluación, división y factorización.

Ejercicios: Teorema del Residuo

Intenta primero. Luego abre la solución paso a paso.

Recuerda el método:
ordenar, completar si hace falta, identificar el divisor en la forma x – a, hallar a, evaluar P(a) y concluir que ese valor es el residuo.

Ejercicio 1

Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x² + 4x + 1    entre    x – 2

Ver solución paso a paso

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x² + 4x + 1

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

No faltan términos.

Paso 4. Identificar el divisor

x – 2

Paso 5. Compararlo con x – a

a = 2

Paso 6. Evaluar P(2)

P(2) = (2)² + 4(2) + 1

Paso 7. Potencias

(2)² = 4

Paso 8. Productos

4(2) = 8

Paso 9. Sumar

4 + 8 + 1 = 13

Conclusión: el residuo es 13.

Ejercicio 2

Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x³ – 3x + 2    entre    x + 1

Ver solución

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x³ – 3x + 2

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

Falta el término en x²:

x³ + 0x² – 3x + 2

Paso 4. Identificar el divisor

x + 1

Paso 5. Escribirlo como x – a

x + 1 = x – (-1)

Paso 6. Identificar a

a = -1

Paso 7. Evaluar P(-1)

P(-1) = (-1)³ + 0(-1)² – 3(-1) + 2

Paso 8. Potencias

(-1)³ = -1,   (-1)² = 1

Paso 9. Productos

0(1) = 0,   -3(-1) = 3

Paso 10. Sumar

-1 + 0 + 3 + 2 = 4

Conclusión: el residuo es 4.

Ejercicio 3

Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x⁴ + 2x² – 5    entre    x – 3

Ver solución

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x⁴ + 2x² – 5

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

Faltan los términos en x³ y x:

x⁴ + 0x³ + 2x² + 0x – 5

Paso 4. Identificar el divisor

x – 3

Paso 5. Comparar con x – a

a = 3

Paso 6. Evaluar P(3)

P(3) = 3⁴ + 0(3³) + 2(3²) + 0(3) – 5

Paso 7. Potencias

3⁴ = 81,   3³ = 27,   3² = 9

Paso 8. Productos

0(27) = 0,   2(9) = 18,   0(3) = 0

Paso 9. Sumar

81 + 0 + 18 + 0 – 5 = 94

Conclusión: el residuo es 94.

Ejercicio 4

Hallar el residuo de dividir:

P(x) = 2x³ – x + 4    entre    x + 2

Ver solución

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = 2x³ – x + 4

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

Falta el término en x²:

2x³ + 0x² – x + 4

Paso 4. Identificar el divisor

x + 2

Paso 5. Escribirlo como x – a

x + 2 = x – (-2)

Paso 6. Identificar a

a = -2

Paso 7. Evaluar P(-2)

P(-2) = 2(-2)³ + 0(-2)² – (-2) + 4

Paso 8. Potencias

(-2)³ = -8,   (-2)² = 4

Paso 9. Productos

2(-8) = -16,   0(4) = 0,   -(-2) = 2

Paso 10. Sumar

-16 + 0 + 2 + 4 = -10

Conclusión: el residuo es -10.

Ejercicio 5

Hallar el residuo de dividir:

P(x) = x³ – 4x² + 4x    entre    x – 2

Ver solución

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = x³ – 4x² + 4x

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

Falta el término constante:

x³ – 4x² + 4x + 0

Paso 4. Identificar el divisor

x – 2

Paso 5. Comparar con x – a

a = 2

Paso 6. Evaluar P(2)

P(2) = (2)³ – 4(2)² + 4(2) + 0

Paso 7. Potencias

(2)³ = 8,   (2)² = 4

Paso 8. Productos

-4(4) = -16,   4(2) = 8

Paso 9. Sumar

8 – 16 + 8 + 0 = 0

Conclusión: el residuo es 0.

Ejercicio 6

Hallar el residuo de dividir:

P(x) = 3x² + 2x – 1    entre    x + 3

Ver solución

Paso 1. Escribir el polinomio

P(x) = 3x² + 2x – 1

Paso 2. Ordenar

Ya está ordenado.

Paso 3. Completar

No faltan términos.

Paso 4. Identificar el divisor

x + 3

Paso 5. Escribirlo como x – a

x + 3 = x – (-3)

Paso 6. Identificar a

a = -3

Paso 7. Evaluar P(-3)

P(-3) = 3(-3)² + 2(-3) – 1

Paso 8. Potencias

(-3)² = 9

Paso 9. Productos

3(9) = 27,   2(-3) = -6

Paso 10. Sumar

27 – 6 – 1 = 20

Conclusión: el residuo es 20.

Observación importante:
Si en algún ejercicio el residuo es 0, la división entre x – a es exacta.
Eso será fundamental para el siguiente tema: teorema del factor.