Suma y Diferencia de Cubos

Factorización paso a paso de expresiones con cubos perfectos.

Idea central:
Cuando un polinomio tiene dos términos y ambos son cubos perfectos,
puede factorizarse como suma o diferencia de cubos.

Formas generales

Suma de cubos:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Diferencia de cubos:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Método paso a paso

Ordenar el polinomio.
Verificar que tenga exactamente dos términos.
Buscar primero si hay factor común.
Revisar si cada término es un cubo perfecto.
Identificar a y b.
Decidir si es suma o diferencia.
Aplicar la fórmula correspondiente.
Simplificar el trinomio del segundo factor.
Revisar si la factorización ya quedó completa.

Ejemplo 1:
Factorizar:

x³ – 8

Paso a paso

Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado: x³ – 8

Paso 2. Verificar que tenga dos términos
Sí:
x³
-8

Paso 3. Buscar factor común
No hay factor común distinto de 1.

Paso 4. Revisar si cada término es cubo perfecto
x³ = (x)³
8 = (2)³

Paso 5. Identificar a y b
a = x
b = 2

Paso 6. Decidir si es suma o diferencia
Es una diferencia.

Paso 7. Aplicar la fórmula
x³ – 2³ = (x – 2)(x² + 2x + 4)

Paso 8. Revisar si la factorización quedó completa
x – 2 es lineal.
x² + 2x + 4 no se factoriza en ℝ.

Resultado final: (x – 2)(x² + 2x + 4)

Ejemplo 2:
Factorizar:

x³ + 27

Paso a paso

Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.

Paso 2. Verificar que tenga dos términos
Sí.

Paso 3. Buscar factor común
No hay.

Paso 4. Revisar cubos perfectos
x³ = (x)³
27 = (3)³

Paso 5. Identificar a y b
a = x
b = 3

Paso 6. Decidir si es suma o diferencia
Es una suma.

Paso 7. Aplicar la fórmula
x³ + 3³ = (x + 3)(x² – 3x + 9)

Paso 8. Revisar si quedó completa
x + 3 es lineal.
x² – 3x + 9 es irreducible en ℝ.

Resultado final: (x + 3)(x² – 3x + 9)

Ejemplo 3:
Factorizar:

8x³ – 1

Paso a paso

Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.

Paso 2. Verificar que tenga dos términos
Sí.

Paso 3. Buscar factor común
No hay.

Paso 4. Revisar cubos perfectos
8x³ = (2x)³
1 = 1³

Paso 5. Identificar a y b
a = 2x
b = 1

Paso 6. Decidir si es suma o diferencia
Es una diferencia.

Paso 7. Aplicar la fórmula
(2x)³ – 1³ = (2x – 1)\big((2x)² + (2x)(1) + 1²\big)

Paso 8. Simplificar
(2x – 1)(4x² + 2x + 1)

Paso 9. Revisar si quedó completa
Sí, porque el segundo factor no se puede seguir factorizando en ℝ.

Resultado final: (2x – 1)(4x² + 2x + 1)

Ejemplo 4:
Factorizar:

2x³ + 54

Paso a paso

Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.

Paso 2. Verificar cantidad de términos
Tiene dos términos.

Paso 3. Buscar factor común
Ambos términos tienen factor común 2:
2(x³ + 27)

Paso 4. Analizar lo que quedó dentro del paréntesis
x³ + 27 = x³ + 3³

Paso 5. Aplicar suma de cubos
x³ + 27 = (x + 3)(x² – 3x + 9)

Paso 6. Escribir el resultado completo
2(x + 3)(x² – 3x + 9)

Paso 7. Revisar si quedó completa
Sí.

Resultado final: 2(x + 3)(x² – 3x + 9)

Errores comunes

Error 1. Aplicar la fórmula cuando no son cubos perfectos.

Ejemplo: x³ + 12 no es suma de cubos.

Error 2. Confundir los signos del segundo factor.

En la suma:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

En la diferencia:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Error 3. Olvidar sacar primero el factor común.

Factoriza completamente:

2x³ – 16

Ver solución

Factor común: 2

2(x³ – 8)

8 = 2³

2(x – 2)(x² + 2x + 4)

Ejercicio 6

¿Es suma o diferencia de cubos?

x³ + 12

Ver solución

12 no es cubo perfecto

No se puede aplicar suma de cubos

Ejercicio 7

Factoriza:

125x³ – 8

Ver solución

125x³ = (5x)³

8 = 2³

(5x – 2)(25x² + 10x + 4)

Ejercicio 8

Factoriza completamente:

4x³ + 108

Ver solución

Factor común: 4

4(x³ + 27)

4(x + 3)(x² – 3x + 9)

Clave final:
Antes de aplicar la fórmula:

Verifica que sean cubos.
Busca factor común.
Identifica si es suma o diferencia.