Idea clave:
Antes de estudiar funciones, primero debemos comprender qué es una relación. Una relación permite asociar elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.

Definición intuitiva:
Una relación es una correspondencia entre elementos de dos conjuntos.
Por ejemplo, si un conjunto contiene estudiantes y otro contiene materias, podemos relacionar cada estudiante con la materia que prefiere.

Ejemplo:
A = {Ana, Luis, Marta}
B = {Matemáticas, Física, Arte}

Una relación posible es:
R = {(Ana, Matemáticas), (Luis, Física), (Marta, Arte)}

Aquí cada par ordenado muestra que un elemento del primer conjunto queda asociado con un elemento del segundo.

Definición formal:
Si A y B son dos conjuntos, una relación de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A × B.

¿Qué significa esto?
El producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados posibles (a,b), donde a pertenece a A y b pertenece a B.
Una relación toma solo algunos de esos pares.

Definición:
El producto cartesiano de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer elemento está en A y cuyo segundo elemento está en B.

Ejemplo:
A = {1,2}
B = {a,b,c}

Entonces:
A × B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

Una relación será cualquier selección de algunos pares de este producto cartesiano.

Ejemplo 1:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6}

R = {(1,2),(2,4),(3,6)}

Esta relación puede interpretarse como:
“el elemento de B es el doble del elemento de A”.

Ejemplo 2:
A = {1,2,3}
B = {1,4,9}

R = {(1,1),(2,4),(3,9)}

Esta relación puede interpretarse como:
“el elemento de B es el cuadrado del elemento de A”.

Dominio: conjunto de elementos de partida.
Codominio: conjunto de llegada.
Imagen: elementos del codominio que realmente quedan relacionados.

Ejemplo:
Si A = {1,2,3} y B = {2,4,6,8},
y R = {(1,2),(2,4),(3,6)}, entonces:

Dominio: A = {1,2,3}
Codominio: B = {2,4,6,8}
Imagen de R: {2,4,6}

Una relación también puede representarse con diagramas de flechas: desde cada elemento de A se trazan flechas hacia los elementos de B con los que está relacionado.

Ejemplo:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6}

1 → 2
2 → 4
3 → 6

No.
Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
Una función exige una condición especial: a cada elemento del dominio le debe corresponder uno y solo un elemento del codominio.

❌ Confundir relación con función
❌ Pensar que una relación debe usar todos los pares del producto cartesiano
❌ Olvidar que los pares ordenados sí tienen orden: (a,b) ≠ (b,a)
❌ Confundir codominio con imagen

Resumen:
Una relación entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.
Se escribe formalmente como:

R ⊆ A × B

Las relaciones pueden representarse mediante pares ordenados, tablas o diagramas de flechas.
Más adelante veremos que una función es un tipo especial de relación.

Instrucción: Intenta primero y luego verifica. Piensa siempre en pares ordenados.

Ejercicio 1:
A = {1,2}
B = {a,b}

Encuentra el producto cartesiano A × B

Ejercicio 2:
A = {1,2}
B = {3,4}

¿Es {(1,3),(2,4)} una relación de A en B?

Ejercicio 3:
A = {1,2}
B = {3,4}

¿Es {(1,3),(4,2)} una relación de A en B?

Ejercicio 4:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6}

R = {(1,2),(2,4),(3,6)}

Describe la relación con palabras.

Ejercicio 5:
A = {1,2,3}
B = {1,4,9}

R = {(1,1),(2,4),(3,9)}

Describe la relación.

Ejercicio 6:
A = {1,2,3}
B = {2,4,6,8}

R = {(1,2),(2,4),(3,6)}

Encuentra la imagen de R.

Ejercicio 7:
A = {1,2,3}
B = {4,5,6}

R = {(1,4),(1,5),(2,6)}

¿Es una función? Explica.

Ejercicio 8:
A = {1,2,3}
B = {4,5,6}

R = {(1,4),(2,5),(3,6)}

¿Es una función?

Conclusión:
Una relación es un subconjunto del producto cartesiano.
Una función es una relación especial donde cada elemento del dominio tiene una única imagen.

Idea clave:
La implicación p → q se representa como:

¬p ∨ q

En gráficos existenciales, esto se interpreta como una estructura con negación.

Ejercicio 1:
Representa la implicación p → q como expresión lógica equivalente.

Pista: La implicación no se dibuja directamente.

Ejercicio 2:
Si tienes una burbuja que contiene p, ¿qué representa?

Pista: La burbuja niega.

Ejercicio 3:
¿Cómo representarías ¬p ∨ q en un gráfico existencial?

Pista: Usa una burbuja y un elemento fuera.

Ejercicio 4:
¿El gráfico con p dentro de una burbuja y q afuera representa una implicación?

Pista: Relaciona con ¬p ∨ q.

Ejercicio 5:
Transforma el gráfico que representa p → q usando doble corte.

Pista: Aplica (( )) = nada.

Ejercicio 6:
¿La contraposición se puede ver en gráficos existenciales?

Pista: Cambia lo que está dentro y fuera de la burbuja.

Ejercicio 7:
¿Es correcto dibujar p → q como dos elementos separados sin burbujas?

Pista: Falta la negación.

Conclusión:
La implicación en gráficos existenciales no se dibuja directamente, sino a través de su equivalencia lógica.

Instrucciones:
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.

1. Expresa la implicación p → q como una disyunción.

2. Escribe la contraposición de p → q.

3. ¿Cuándo es falsa una implicación?

4. ¿p → q es equivalente a q → p? Justifica.

5. Si p es verdadera y q es falsa, evalúa p → q.

6. Si p es falsa, ¿qué ocurre con p → q?

7. Expresa p ↔ q usando implicaciones.

8. ¿Cómo se representa ¬p en un gráfico existencial?

9. Describe cómo representarías p → q en gráficos existenciales.

10. ¿Se puede representar una implicación sin burbujas? Explica.

11. Explica por qué ¬q → ¬p es equivalente a p → q.

12. Un estudiante dibuja p → q como dos letras separadas sin burbujas. ¿Está correcto? Justifica.

Nota:
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.