Raíces de un Polinomio

Concepto, interpretación y método paso a paso.

Idea central:
Una raíz de un polinomio es un valor de la variable que hace que el polinomio valga exactamente cero.

Dado un polinomio P(x), decimos que un número a es una raíz si:

P(a) = 0

Significa que si reemplazamos la variable por ese número, todo el polinomio se anula.

Es decir, después de hacer todas las operaciones, el resultado final es cero.

Por eso una raíz no es cualquier número: es un número especial que hace que el polinomio desaparezca.

1. Escribir el polinomio.
2. Ordenarlo si hace falta.
3. Completar términos faltantes si los hay.
4. Elegir el número que se quiere probar.
5. Reemplazar la variable por ese número.
6. Calcular potencias.
7. Calcular multiplicaciones.
8. Sumar y restar.
9. Si el resultado es 0, entonces el número sí es raíz.
10. Si el resultado no es 0, entonces no es raíz.

Problema:
Verificar si 3 es raíz del polinomio:

P(x) = x – 3

Paso a paso

Paso 1. Escribir el polinomio
P(x) = x – 3

Paso 2. Ordenar
Ya está ordenado.

Paso 3. Completar
No hace falta completar.

Paso 4. Elegir el número
Vamos a probar con x = 3.

Paso 5. Reemplazar
P(3) = 3 – 3

Paso 6. Operar
3 – 3 = 0

Conclusión:
Como P(3) = 0, entonces 3 sí es raíz.

Problema:
Verificar si 2 y -2 son raíces de:

P(x) = x² – 4

Paso a paso con x = 2

Paso 1. Escribir el polinomio
P(x) = x² – 4

Paso 2. Ordenar
Ya está ordenado.

Paso 3. Completar
Podríamos escribirlo como:
x² + 0x – 4

Paso 4. Reemplazar x = 2
P(2) = (2)² – 4

Paso 5. Calcular
(2)² = 4
4 – 4 = 0

Conclusión:
2 sí es raíz.

---

Paso a paso con x = -2

Paso 1. Reemplazar x = -2
P(-2) = (-2)² – 4

Paso 2. Calcular
(-2)² = 4
4 – 4 = 0

Conclusión:
-2 también es raíz.

Problema:
Verificar si 3 es raíz de:

P(x) = x³ – 3x² – 4x + 12

Paso a paso

Paso 1. Escribir el polinomio
P(x) = x³ – 3x² – 4x + 12

Paso 2. Ordenar
Ya está ordenado.

Paso 3. Completar
No hace falta porque no faltan términos.

Paso 4. Reemplazar x = 3
P(3) = 3³ – 3(3²) – 4(3) + 12

Paso 5. Calcular potencias
3³ = 27
3² = 9

Paso 6. Calcular productos
3(9) = 27
4(3) = 12

Paso 7. Sumar y restar
27 – 27 – 12 + 12 = 0

Conclusión:
Como P(3) = 0, entonces 3 sí es raíz.

Si un número a es raíz de un polinomio, entonces:

x – a es factor del polinomio

Por ejemplo, si 3 es raíz, entonces x – 3 es factor.

Si dividimos un polinomio entre x – a y el residuo es 0, entonces:

• a es raíz,
• x – a es factor.

Por eso la idea de raíz está conectada con la evaluación, el residuo, la división sintética y la factorización.

Si pensamos el polinomio como función, una raíz es el valor de x donde la gráfica corta el eje x.

Eso ocurre porque justo en ese punto el valor del polinomio es 0.

Error 1. Pensar que cualquier número es raíz sin comprobarlo.

Error 2. Evaluar mal por errores de signos.

Error 3. No usar paréntesis cuando el valor es negativo.

Error 4. Confundir raíz con coeficiente o con exponente.

1. Elegir un número.
2. Evaluar el polinomio en ese número.
3. Si da 0, sí es raíz.
4. Si no da 0, no es raíz.

Frase clave:

Una raíz es el número que hace cero al polinomio.

Ejercicios: Raíces de Polinomios

Evalúa, verifica y determina raíces paso a paso.

Ejercicio 1

¿Es 2 raíz de?

P(x) = x² – 4

Ver solución

P(2) = 2² – 4

4 – 4 = 0

Sí es raíz

Ejercicio 2

¿Es -1 raíz de?

P(x) = x² + x + 1

Ver solución

P(-1) = (-1)² + (-1) + 1

1 – 1 + 1 = 1

No es raíz

Ejercicio 3

Verifica si 1 es raíz de:

P(x) = x³ – x² – x + 1

Ver solución

P(1) = 1 – 1 – 1 + 1

= 0

Sí es raíz

Ejercicio 4

Encuentra una raíz probando valores:

P(x) = x² – 5x + 6

Ver solución

Probar x = 2

P(2) = 4 – 10 + 6 = 0

2 es raíz

También:

P(3) = 9 – 15 + 6 = 0

3 es raíz

Ejercicio 5

¿Es 3 raíz de?

P(x) = x³ – 2x² – 5x + 6

Ver solución

P(3) = 27 – 18 – 15 + 6

= 0

Sí es raíz

Ejercicio 6

Encuentra una raíz probando valores sencillos:

P(x) = x³ – 4x² + x + 6

Ver solución

Probar x = 2

P(2) = 8 – 16 + 2 + 6 = 0

2 es raíz

Ejercicio 7

Si P(2) = 0, ¿qué puedes afirmar?

Ver solución

2 es raíz

x – 2 es factor

Ejercicio 8

Determina si -2 es raíz:

P(x) = x³ + 2x² – x – 2

Ver solución

P(-2) = (-2)³ + 2(-2)² – (-2) – 2

-8 + 8 + 2 – 2 = 0

Sí es raíz

Clave:

• Una raíz hace que el polinomio valga cero.
• Siempre verifica sustituyendo.
• Usa valores pequeños primero: 0, ±1, ±2, ±3.