Propiedades de los Polinomios

Suma, producto, distributividad y por qué los polinomios no forman un cuerpo.

Contexto:
Sea K[x] el conjunto de polinomios con coeficientes en un conjunto numérico como
ℝ o ℚ.

1.1 Clausura

Enunciado: Si sumamos dos polinomios, obtenemos otro polinomio.

Ejemplo:

(2x² + 3x) + (x² – 5) = 3x² + 3x – 5

1.2 Conmutatividad

Enunciado: El orden no cambia la suma.

Forma algebraica:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

Ejemplo:

(2x² + 3x) + (x² – 5) = (x² – 5) + (2x² + 3x)

1.3 Asociatividad

Enunciado: Podemos agrupar los polinomios de distintas maneras sin cambiar el resultado.

Forma algebraica:

(P + Q) + R = P + (Q + R)

Ejemplo:

[(x² + x) + (2x)] + 1 = (x² + x) + [(2x) + 1]

1.4 Elemento neutro

Enunciado: Existe un polinomio cero que no cambia nada al sumar.

Forma algebraica:

P(x) + 0 = P(x)

Ejemplo:

(3x² + 2x + 1) + 0 = 3x² + 2x + 1

1.5 Inverso aditivo

Enunciado: Todo polinomio tiene un opuesto que lo anula al sumar.

Forma algebraica:

P(x) + (-P(x)) = 0

Ejemplo:

(3x² + 2x + 1) + (-3x² – 2x – 1) = 0

Conclusión de la suma:
Con la suma, los polinomios tienen clausura, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro e inverso aditivo.

2.1 Clausura

Enunciado: El producto de dos polinomios vuelve a ser un polinomio.

Ejemplo:

(2x + 1)(x + 3) = 2x² + 7x + 3

2.2 Conmutatividad

Enunciado: El orden no cambia el producto.

Forma algebraica:

P(x)·Q(x) = Q(x)·P(x)

Ejemplo:

(2x + 1)(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)

2.3 Asociatividad

Enunciado: Podemos agrupar los productos de distintas maneras y el resultado es el mismo.

Forma algebraica:

(PQ)R = P(QR)

Ejemplo:

[(x + 1)(x + 2)](x + 3) = (x + 1)[(x + 2)(x + 3)]

2.4 Elemento neutro multiplicativo

Enunciado: Existe un polinomio que no cambia nada al multiplicar.

Forma algebraica:

P(x)·1 = P(x)

Ejemplo:

(3x² + 2x)·1 = 3x² + 2x

Conclusión del producto:
Con el producto, los polinomios tienen clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro multiplicativo.

Enunciado

P(x)(Q(x) + R(x)) = P(x)Q(x) + P(x)R(x)

Ejemplo:

2x(x + 3) = 2x·x + 2x·3 = 2x² + 6x

Idea clave:
El producto se reparte sobre la suma.

Como los polinomios:

• se pueden sumar siempre,
• se pueden multiplicar siempre,
• y el producto es distributivo respecto de la suma,

entonces forman un anillo conmutativo con unidad.

Recordatorio

Un cuerpo es un conjunto donde se puede sumar, restar, multiplicar y además
todo elemento distinto de cero tiene inverso multiplicativo.

Ejemplo clave

Tomemos el polinomio:

P(x) = x

Para que tuviera inverso, debería existir un polinomio Q(x) tal que:

x · Q(x) = 1

Pero eso no es posible, porque el producto tendría grado al menos 1, mientras que 1 tiene grado 0.

Conclusión: x no tiene inverso multiplicativo en K[x].

Conclusión:
Los polinomios no forman un cuerpo, porque no todos tienen inverso multiplicativo.
Solo las constantes no nulas lo tienen.

Los polinomios:

• tienen propiedades claras en la suma,
• tienen propiedades claras en el producto,
• cumplen la distributividad,
• pero no todos tienen inverso multiplicativo.

Por eso, K[x] es un anillo conmutativo con unidad, pero no es un cuerpo.

Ejercicios: Propiedades de los Polinomios

Identifica la propiedad y verifica paso a paso.

Ejercicio 1

Verifica la propiedad:

(2x² + 3x) + (x² – 5) = (x² – 5) + (2x² + 3x)

Ver paso a paso

Lado izquierdo:

(2x² + 3x) + (x² – 5) = 3x² + 3x – 5

Lado derecho:

(x² – 5) + (2x² + 3x) = 3x² + 3x – 5

Conclusión: Ambos lados son iguales.

Propiedad: Conmutatividad de la suma.

Ejercicio 2

Verifica:

[(x² + x) + (2x)] + 1 = (x² + x) + [(2x) + 1]

Ver solución

Lado izquierdo:

(x² + x + 2x) + 1 = x² + 3x + 1

Lado derecho:

(x² + x) + (2x + 1) = x² + 3x + 1

Conclusión: Son iguales.

Propiedad: Asociatividad de la suma.

Ejercicio 3

Verifica:

(3x² + 2x + 1) + 0 = 3x² + 2x + 1

Ver solución

Sumar cero no cambia el polinomio.

Propiedad: Elemento neutro aditivo.

Ejercicio 4

Verifica:

(3x² + 2x + 1) + (-3x² – 2x – 1) = 0

Ver solución

Se cancelan todos los términos:

3x² – 3x² = 0

2x – 2x = 0

1 – 1 = 0

Resultado: 0

Propiedad: Inverso aditivo.

Ejercicio 5

Verifica:

(2x + 1)(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)

Ver solución

Lado izquierdo:

2x² + 7x + 3

Lado derecho:

2x² + 7x + 3

Conclusión: Son iguales.

Propiedad: Conmutatividad del producto.

Ejercicio 6

Verifica:

2x(x + 3) = 2x² + 6x

Ver solución

2x·x = 2x²

2x·3 = 6x

Resultado: 2x² + 6x

Propiedad: Distributiva.

Ejercicio 7

Analiza:

¿Tiene inverso el polinomio P(x) = x?

Ver solución

Buscamos Q(x) tal que:

x · Q(x) = 1

Pero el grado del producto sería ≥ 1.

Y el grado de 1 es 0.

Conclusión: No existe tal polinomio.

Interpretación: No tiene inverso.

Conclusión general:
Los polinomios cumplen propiedades de suma y producto, pero no todos tienen inverso multiplicativo,
por lo que no forman un cuerpo.