Operaciones entre funciones
Idea clave:
Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir como expresiones algebraicas.
Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir como expresiones algebraicas.
1. Definición de operaciones
Si f y g son funciones, entonces:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f · g)(x) = f(x)g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x), si g(x) ≠ 0
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f · g)(x) = f(x)g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x), si g(x) ≠ 0
2. Ejemplo básico
f(x) = x²
g(x) = x + 1
g(x) = x + 1
(f + g)(x) = x² + x + 1
(f – g)(x) = x² – x – 1
(f · g)(x) = x²(x + 1) = x³ + x²
(f / g)(x) = x² / (x + 1)
3. Interpretación clave
Operar funciones es operar sus valores, no sus nombres.
4. Dominio en operaciones
El dominio cambia en la división:
No se puede dividir entre cero.
Ejemplo:
f(x) = x²
g(x) = x – 2
f(x) = x²
g(x) = x – 2
(f/g)(x) = x² / (x – 2)
No se puede usar x = 2
Errores comunes
❌ Pensar que (f+g)(x) es f(x+g(x))
❌ No distribuir correctamente
❌ Olvidar restricciones del dominio
❌ Confundir operación con composición
❌ No distribuir correctamente
❌ Olvidar restricciones del dominio
❌ Confundir operación con composición
Resumen
Resumen:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f · g)(x) = f(x)g(x)
(f / g)(x) = f(x)/g(x)
Ejercicios: Operaciones entre funciones
Instrucción: Realiza las operaciones paso a paso.
Ejercicio 1:
f(x)=x²
g(x)=x+2
f(x)=x²
g(x)=x+2
Encuentra (f+g)(x)
Ver respuesta
x² + x + 2
Ejercicio 2:
Encuentra (f – g)(x)
Encuentra (f – g)(x)
Ver respuesta
x² – x – 2
Ejercicio 3:
Encuentra (f · g)(x)
Encuentra (f · g)(x)
Ver respuesta
x²(x+2)=x³+2x²
Ejercicio 4:
Encuentra (f/g)(x)
Encuentra (f/g)(x)
Ver respuesta
x²/(x+2), con x ≠ -2
Ejercicio 5:
f(x)=2x
g(x)=x-1
f(x)=2x
g(x)=x-1
Encuentra (f+g)(x)
Ver respuesta
3x – 1
Ejercicio 6:
Encuentra (f·g)(x)
Encuentra (f·g)(x)
Ver respuesta
2x(x-1)=2x²-2x
Ejercicio 7:
f(x)=x²
g(x)=x²
f(x)=x²
g(x)=x²
Encuentra (f-g)(x)
Ver respuesta
0
Ejercicio 8:
f(x)=x+1
g(x)=x-1
f(x)=x+1
g(x)=x-1
Encuentra (f·g)(x)
Ver respuesta
(x+1)(x-1)=x²-1
Conclusión:
Operar funciones es trabajar directamente con sus expresiones algebraicas.
Operar funciones es trabajar directamente con sus expresiones algebraicas.
Ejercicios: Transformaciones de la función identidad
Instrucción: Describe la transformación respecto a f(x)=x.
Ejercicio 1:
f(x) = x + 3
f(x) = x + 3
Ver respuesta
Traslación vertical hacia arriba 3 unidades.
Ejercicio 2:
f(x) = x – 5
f(x) = x – 5
Ver respuesta
Traslación vertical hacia abajo 5 unidades.
Ejercicio 3:
f(x) = x – 2
f(x) = x – 2
Ver respuesta
Traslación vertical hacia abajo 2 unidades.
Ejercicio 4:
f(x) = x – 3 (interpretado como traslación horizontal)
f(x) = x – 3 (interpretado como traslación horizontal)
Ver respuesta
Se desplaza 3 unidades hacia la derecha.
Ejercicio 5:
f(x) = x + 4 (interpretado como traslación horizontal)
f(x) = x + 4 (interpretado como traslación horizontal)
Ver respuesta
Se desplaza 4 unidades hacia la izquierda.
Ejercicio 6:
f(x) = -x
f(x) = -x
Ver respuesta
Reflexión respecto al eje x.
Ejercicio 7:
f(x) = -x + 2
f(x) = -x + 2
Ver respuesta
Reflexión respecto al eje x y luego traslación hacia arriba 2 unidades.
Ejercicio 8:
f(x) = -(x – 3)
f(x) = -(x – 3)
Ver respuesta
Traslación 3 unidades a la derecha y luego reflexión.
Ejercicio 9:
f(x) = (x – 2) + 5
f(x) = (x – 2) + 5
Ver respuesta
Se mueve 2 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.
Ejercicio 10:
Describe la función que resulta de:
• mover f(x)=x 4 unidades abajo
• luego reflejarla
Describe la función que resulta de:
• mover f(x)=x 4 unidades abajo
• luego reflejarla
Ver respuesta
Primero: x – 4
Luego reflexión: f(x) = -(x – 4)
Luego reflexión: f(x) = -(x – 4)
Conclusión:
Las funciones no se memorizan, se transforman.
Entender cómo se mueve una gráfica es entender la función.
Las funciones no se memorizan, se transforman.
Entender cómo se mueve una gráfica es entender la función.
Evaluación: Implicación y Gráficos Existenciales
Instrucciones:
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.
Parte A: Conceptual
1. Expresa la implicación p → q como una disyunción.
2. Escribe la contraposición de p → q.
3. ¿Cuándo es falsa una implicación?
4. ¿p → q es equivalente a q → p? Justifica.
Parte B: Aplicación
5. Si p es verdadera y q es falsa, evalúa p → q.
6. Si p es falsa, ¿qué ocurre con p → q?
7. Expresa p ↔ q usando implicaciones.
Parte C: Gráficos Existenciales
8. ¿Cómo se representa ¬p en un gráfico existencial?
9. Describe cómo representarías p → q en gráficos existenciales.
10. ¿Se puede representar una implicación sin burbujas? Explica.
Parte D: Análisis
11. Explica por qué ¬q → ¬p es equivalente a p → q.
12. Un estudiante dibuja p → q como dos letras separadas sin burbujas. ¿Está correcto? Justifica.
Soluciones
Ver soluciones
1. ¬p ∨ q
2. ¬q → ¬p
3. Cuando p es verdadera y q es falsa
4. No, no son equivalentes
5. Falso
6. Siempre verdadera
7. (p → q) ∧ (q → p)
8. Una burbuja que contiene p
9. Como ¬p ∨ q (burbuja con p y q fuera)
10. No, porque falta la negación
11. Es la contraposición, mantiene el mismo valor lógico
12. No, falta la estructura de negación
Nota:
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.