Tema 3. Operaciones entre conjuntos
En este tema aprenderemos a trabajar con conjuntos usando cuatro operaciones
fundamentales: unión, intersección, diferencia y complemento.
Estas operaciones nos permiten comparar conjuntos y describir con precisión
qué elementos aparecen en uno, en otro o en ambos.
1. Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos
que están en el primero, en el segundo o en ambos.
En la unión se reúnen todos los elementos sin repetirlos.
2. Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por
los elementos que están en ambos conjuntos al mismo tiempo.
En la intersección solo quedan los elementos comunes.
3. Diferencia de conjuntos
La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto formado por
los elementos que están en el primero, pero no en el segundo.
En la diferencia quitamos del primer conjunto los elementos que también aparecen en el segundo.
no significa lo mismo que
El orden sí importa.
4. Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por
todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A.
Para hablar de complemento siempre necesitamos saber cuál es el conjunto universal.
5. El conjunto universal
El conjunto universal, que suele representarse con la letra U,
es el conjunto que contiene todos los elementos con los que se está trabajando
en una situación determinada.
Si estamos trabajando con números del 1 al 10, entonces:
El complemento depende del universo elegido.
6. Ejemplo completo con varias operaciones
7. Interpretación en palabras
- A ∪ B: los elementos que están en A o en B.
- A ∩ B: los elementos que están en A y en B.
- A – B: los elementos que están en A pero no en B.
- A’: los elementos que no están en A, dentro del universo U.
8. Resumen
- La unión reúne todos los elementos de dos conjuntos.
- La intersección conserva solo los elementos comunes.
- La diferencia toma los elementos del primero que no están en el segundo.
- El complemento contiene lo que falta de A dentro del universo.
- En la unión no se repiten elementos.
- En la diferencia el orden sí importa.
- Para hallar el complemento se necesita conocer el conjunto universal.
Ejercicios – Tema 2: Subconjuntos e inclusión
la diferencia entre pertenencia e inclusión, y el uso del conjunto vacío.
Intenta resolver primero y luego abre la solución.
Ejercicio 1
Sean los conjuntos:
Determina si A ⊂ B.
Ver solución
Debemos revisar si todos los elementos de A están en B.
Los elementos de A son 1 y 2.
Ambos pertenecen a B.
Entonces:
Ejercicio 2
Sean los conjuntos:
Determina si C ⊂ D.
Ver solución
Revisamos si todos los elementos de C pertenecen a D.
El número 1 sí está en D, pero el número 5 no está en D.
Basta con que un elemento no pertenezca para que no haya inclusión.
Entonces:
Ejercicio 3
Determina cuáles de las siguientes expresiones son correctas:
b) {1,2} ∈ {1,2,3}
c) {1,2} ⊂ {1,2,3}
Ver solución
a) Correcta, porque 2 es un elemento del conjunto.
b) Incorrecta, porque {1,2} no es un elemento allí escrito, sino un conjunto.
c) Correcta, porque {1,2} es un conjunto y todos sus elementos están en {1,2,3}.
Ejercicio 4
Completa con ⊂ o ⊄:
b) {a,b} ___ {a,e,i,o,u}
c) {rojo} ___ {rojo, azul, verde}
Ver solución
Debemos mirar si todos los elementos del primer conjunto están en el segundo.
b) {a,b} ⊄ {a,e,i,o,u}, porque b no está en el segundo conjunto.
c) {rojo} ⊂ {rojo, azul, verde}
Ejercicio 5
Diferencia entre pertenencia e inclusión.
Indica cuál símbolo va en cada caso: ∈ o ⊂.
b) {1,2} ___ {1,2,3,4}
c) a ___ {a,b,c}
d) {a,b} ___ {a,b,c}
Ver solución
b) {1,2} ⊂ {1,2,3,4}
c) a ∈ {a,b,c}
d) {a,b} ⊂ {a,b,c}
Ejercicio 6
Sea el conjunto:
Decide cuáles de los siguientes conjuntos son subconjuntos de E:
b) {2,5}
c) {6,8}
d) {1,2,4}
Ver solución
Revisamos elemento por elemento.
b) {2,5} ⊄ E, porque 5 no pertenece a E.
c) {6,8} ⊂ E
d) {1,2,4} ⊄ E, porque 1 no pertenece a E.
Ejercicio 7
Sea:
Determina si cada conjunto está contenido en F:
b) {viernes}
c) {miércoles, jueves}
d) {lunes, sábado}
Ver solución
b) {viernes} ⊄ F
c) {miércoles, jueves} ⊂ F
d) {lunes, sábado} ⊄ F
Ejercicio 8
Explica con tus palabras qué significa que un conjunto sea subconjunto de otro.
Ver solución
Ejercicio 9
¿Es correcto afirmar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo?
Ver solución
Sí.
Ejercicio 10
¿Es el conjunto vacío subconjunto de cualquier conjunto?
Ver solución
Sí.
El conjunto vacío no tiene elementos, así que no hay ninguno que quede por fuera del otro conjunto.
Por eso:
para cualquier conjunto A.