El grupo de simetrías de un triángulo
Idea general:
Tomemos un triángulo equilátero con vértices marcados 1, 2 y 3, y con un lado distinguido. Las transformaciones que lo dejan ocupando la misma región del plano forman un conjunto especial de simetrías.
Tomemos un triángulo equilátero con vértices marcados 1, 2 y 3, y con un lado distinguido. Las transformaciones que lo dejan ocupando la misma región del plano forman un conjunto especial de simetrías.
Las 6 simetrías del triángulo equilátero
Las simetrías del triángulo equilátero forman un grupo de 6 elementos. Estas simetrías pueden ser rotaciones o reflexiones.
1. Identidad
Notación: e
Descripción:
La identidad no cambia nada. El triángulo permanece exactamente igual.
La identidad no cambia nada. El triángulo permanece exactamente igual.
2. Rotación de 120°
Notación: r
Descripción:
El triángulo gira 120° y vuelve a ocupar la misma región del plano.
El triángulo gira 120° y vuelve a ocupar la misma región del plano.
3. Rotación de 240°
Notación: r²
Descripción:
El triángulo gira 240°. También puede verse como aplicar dos veces la rotación r.
El triángulo gira 240°. También puede verse como aplicar dos veces la rotación r.
4. Reflexión respecto al eje vertical
Notación: s
Descripción:
El triángulo se refleja respecto a un eje vertical.
El triángulo se refleja respecto a un eje vertical.
5. Segunda reflexión
Notación: t = r ∘ s
Descripción:
Se obtiene componiendo una rotación con la reflexión s.
Se obtiene componiendo una rotación con la reflexión s.
6. Tercera reflexión
Notación: u = r² ∘ s
Descripción:
Se obtiene componiendo la rotación r² con la reflexión s.
Se obtiene componiendo la rotación r² con la reflexión s.
Tabla de Cayley
| ∘ | e | r | r² | s | t | u |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | r | r² | s | t | u |
| r | r | r² | e | t | u | s |
| r² | r² | e | r | u | s | t |
| s | s | u | t | e | r² | r |
| t | t | s | u | r | e | r² |
| u | u | t | s | r² | r | e |
Propiedades de grupo
Clausura:
La composición de dos simetrías vuelve a ser una simetría del triángulo.
La composición de dos simetrías vuelve a ser una simetría del triángulo.
Elemento neutro:
El elemento neutro es e.
El elemento neutro es e.
Inversos:
r⁻¹ = r², (r²)⁻¹ = r, y cada reflexión es su propio inverso.
r⁻¹ = r², (r²)⁻¹ = r, y cada reflexión es su propio inverso.
Asociatividad:
La composición de transformaciones es asociativa.
La composición de transformaciones es asociativa.
Conclusión:
Las simetrías del triángulo equilátero forman un grupo llamado grupo diedral D₃.
Las simetrías del triángulo equilátero forman un grupo llamado grupo diedral D₃.
Juego del tablero
Idea:
Tenemos un tablero con posiciones del 0 al 9. Un punto se mueve según reglas.
Tenemos un tablero con posiciones del 0 al 9. Un punto se mueve según reglas.
Tablero
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Movimientos
→ Avanzar 1
→ Avanzar 2
→ Retroceder 1
→ Quedarse igual
Si pasas de 9, vuelves a 0.
Si bajas de 0, vuelves a 9.
Si bajas de 0, vuelves a 9.
Ejercicios
1. Empiezas en 7. Avanzas 2. ¿Dónde llegas?
Ver respuesta
7 → 9
2. Empiezas en 9. Avanzas 2. ¿Dónde llegas?
Ver respuesta
9 → 1
3. Empiezas en 3. Avanzas 1 y luego retrocedes 1. ¿Dónde quedas?
Ver respuesta
Vuelves a 3.
4. ¿Qué movimiento no cambia nada?
Ver respuesta
Quedarse igual.
5. ¿Qué movimiento deshace avanzar 2?
Ver respuesta
Retroceder 2 (o avanzar 8).
6. ¿Importa el orden?
¿Es lo mismo avanzar 1 y luego 2 que al revés?
¿Es lo mismo avanzar 1 y luego 2 que al revés?
Ver respuesta
No importa, el resultado es el mismo.
Reflexión
Este sistema cumple:
- Siempre se queda en el tablero
- Tiene elemento neutro
- Tiene inversos
- No importa el orden
Idea clave:
Moverse en el tablero es hacer matemáticas estructuradas.
Moverse en el tablero es hacer matemáticas estructuradas.
UNO Matemático
Idea:
Un jugador está en un número del tablero.
Las cartas indican cómo se mueve.
Un jugador está en un número del tablero.
Las cartas indican cómo se mueve.
Tablero
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Si pasas de 9 vuelves a 0.
Si bajas de 0 vuelves a 9.
Si bajas de 0 vuelves a 9.
Cartas
+1
+2
-1
0 (no cambia)
↺ Cambia orden
Reglas
- Se empieza en un número
- Cada jugador lanza una carta
- Se aplican en orden
- Si sale “↺”, se invierte el orden
Ejercicios
1. Empiezas en 4.
Cartas: +1, +2
¿Dónde terminas?
Cartas: +1, +2
¿Dónde terminas?
Ver respuesta
4 → 5 → 7
2. Empiezas en 4.
Cartas: +2, +1
¿Resultado?
Cartas: +2, +1
¿Resultado?
Ver respuesta
También 7 → no importa el orden
3. Empiezas en 6.
Cartas: +1, -1
¿Dónde quedas?
Cartas: +1, -1
¿Dónde quedas?
Ver respuesta
Vuelves a 6 → se cancelan
4. ¿Qué carta no cambia nada?
Ver respuesta
0
5. ¿Qué carta deshace +2?
Ver respuesta
-2 (o +8 en el ciclo)
Reflexión
Este juego cumple:
- No sales del sistema
- Existe neutro
- Hay inversos
- Se pueden componer movimientos
Idea clave:
Estás jugando con una estructura matemática… eso es álgebra.
Estás jugando con una estructura matemática… eso es álgebra.