Función lineal como transformación de f(x)=x
Idea clave:
Toda función lineal puede construirse a partir de la función identidad aplicando transformaciones.
Toda función lineal puede construirse a partir de la función identidad aplicando transformaciones.
1. Punto de partida
Función base:
f(x) = x
f(x) = x
Esta es la recta más simple: pendiente 1 y pasa por el origen.
2. Forma general de la función lineal
f(x) = mx + b
Interpretación:
m → pendiente (inclinación)
b → desplazamiento vertical
3. Transformación paso a paso
Partimos de:
f(x) = x
f(x) = x
Paso 1: Multiplicar por m
f(x) = mx
f(x) = mx
Esto cambia la inclinación de la recta.
Paso 2: Sumar b
f(x) = mx + b
f(x) = mx + b
Esto mueve la recta hacia arriba o abajo.
4. Interpretación de la pendiente (m)
Si m > 0: la recta sube
Si m < 0: la recta baja
Si m = 1: es la identidad
Si m = -1: es una reflexión
Si m < 0: la recta baja
Si m = 1: es la identidad
Si m = -1: es una reflexión
La pendiente indica cuánto cambia y cuando x aumenta en 1.
5. Interpretación del término b
b indica el punto donde la recta corta el eje y.
Ejemplo:
f(x)=2x+3 → corta en y=3
f(x)=2x+3 → corta en y=3
6. Ejemplos como transformaciones
Ejemplo 1:
f(x) = 2x + 1
f(x) = 2x + 1
Transformaciones:
• Se estira (m=2)
• Se mueve 1 hacia arriba
Ejemplo 2:
f(x) = -x + 3
f(x) = -x + 3
• Reflexión
• Traslación hacia arriba 3
Ejemplo 3:
f(x) = 0.5x – 2
f(x) = 0.5x – 2
• Se aplana (pendiente menor)
• Baja 2 unidades
7. Interpretación clave
f(x)=mx+b no es una fórmula para memorizar.
Es una transformación de f(x)=x.
Es una transformación de f(x)=x.
Errores comunes
❌ Pensar que b afecta la inclinación
❌ Pensar que m mueve la gráfica hacia arriba
❌ No entender qué significa m negativo
❌ Memorizar sin interpretar
❌ Pensar que m mueve la gráfica hacia arriba
❌ No entender qué significa m negativo
❌ Memorizar sin interpretar
Resumen
Resumen:
f(x)=x → base
f(x)=mx → cambia inclinación
f(x)=mx+b → traslada
Toda función lineal es una transformación de la identidad.
Ejercicios: Función lineal como transformación
Instrucción: Describe cada función como transformación de f(x)=x.
Ejercicio 1:
f(x) = 2x
f(x) = 2x
Ver respuesta
Se estira la función (pendiente mayor). La recta es más inclinada.
Ejercicio 2:
f(x) = 3x + 2
f(x) = 3x + 2
Ver respuesta
Se estira (m=3) y luego se traslada 2 unidades hacia arriba.
Ejercicio 3:
f(x) = -x
f(x) = -x
Ver respuesta
Reflexión de la función identidad respecto al eje x.
Ejercicio 4:
f(x) = -2x
f(x) = -2x
Ver respuesta
Reflexión y estiramiento (más inclinada hacia abajo).
Ejercicio 5:
f(x) = x + 4
f(x) = x + 4
Ver respuesta
Traslación vertical hacia arriba 4 unidades.
Ejercicio 6:
f(x) = x – 6
f(x) = x – 6
Ver respuesta
Traslación vertical hacia abajo 6 unidades.
Ejercicio 7:
f(x) = 0.5x
f(x) = 0.5x
Ver respuesta
Se aplana la recta (pendiente menor que 1).
Ejercicio 8:
f(x) = -x + 5
f(x) = -x + 5
Ver respuesta
Reflexión respecto al eje x y luego traslación hacia arriba 5 unidades.
Ejercicio 9:
Describe la función que resulta de:
• reflejar f(x)=x
• luego multiplicar por 3
• luego subir 2 unidades
Describe la función que resulta de:
• reflejar f(x)=x
• luego multiplicar por 3
• luego subir 2 unidades
Ver respuesta
Primero: -x
Luego: -3x
Finalmente: f(x) = -3x + 2
Luego: -3x
Finalmente: f(x) = -3x + 2
Ejercicio 10:
Construye una función que:
• sea creciente
• tenga pendiente 4
• corte el eje y en -3
Construye una función que:
• sea creciente
• tenga pendiente 4
• corte el eje y en -3
Ver respuesta
f(x) = 4x – 3
Conclusión:
Una función lineal no se memoriza: se construye a partir de transformaciones de f(x)=x.
Una función lineal no se memoriza: se construye a partir de transformaciones de f(x)=x.
Ejercicios: Transformaciones de la función identidad
Instrucción: Describe la transformación respecto a f(x)=x.
Ejercicio 1:
f(x) = x + 3
f(x) = x + 3
Ver respuesta
Traslación vertical hacia arriba 3 unidades.
Ejercicio 2:
f(x) = x – 5
f(x) = x – 5
Ver respuesta
Traslación vertical hacia abajo 5 unidades.
Ejercicio 3:
f(x) = x – 2
f(x) = x – 2
Ver respuesta
Traslación vertical hacia abajo 2 unidades.
Ejercicio 4:
f(x) = x – 3 (interpretado como traslación horizontal)
f(x) = x – 3 (interpretado como traslación horizontal)
Ver respuesta
Se desplaza 3 unidades hacia la derecha.
Ejercicio 5:
f(x) = x + 4 (interpretado como traslación horizontal)
f(x) = x + 4 (interpretado como traslación horizontal)
Ver respuesta
Se desplaza 4 unidades hacia la izquierda.
Ejercicio 6:
f(x) = -x
f(x) = -x
Ver respuesta
Reflexión respecto al eje x.
Ejercicio 7:
f(x) = -x + 2
f(x) = -x + 2
Ver respuesta
Reflexión respecto al eje x y luego traslación hacia arriba 2 unidades.
Ejercicio 8:
f(x) = -(x – 3)
f(x) = -(x – 3)
Ver respuesta
Traslación 3 unidades a la derecha y luego reflexión.
Ejercicio 9:
f(x) = (x – 2) + 5
f(x) = (x – 2) + 5
Ver respuesta
Se mueve 2 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.
Ejercicio 10:
Describe la función que resulta de:
• mover f(x)=x 4 unidades abajo
• luego reflejarla
Describe la función que resulta de:
• mover f(x)=x 4 unidades abajo
• luego reflejarla
Ver respuesta
Primero: x – 4
Luego reflexión: f(x) = -(x – 4)
Luego reflexión: f(x) = -(x – 4)
Conclusión:
Las funciones no se memorizan, se transforman.
Entender cómo se mueve una gráfica es entender la función.
Las funciones no se memorizan, se transforman.
Entender cómo se mueve una gráfica es entender la función.
Evaluación: Implicación y Gráficos Existenciales
Instrucciones:
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.
Parte A: Conceptual
1. Expresa la implicación p → q como una disyunción.
2. Escribe la contraposición de p → q.
3. ¿Cuándo es falsa una implicación?
4. ¿p → q es equivalente a q → p? Justifica.
Parte B: Aplicación
5. Si p es verdadera y q es falsa, evalúa p → q.
6. Si p es falsa, ¿qué ocurre con p → q?
7. Expresa p ↔ q usando implicaciones.
Parte C: Gráficos Existenciales
8. ¿Cómo se representa ¬p en un gráfico existencial?
9. Describe cómo representarías p → q en gráficos existenciales.
10. ¿Se puede representar una implicación sin burbujas? Explica.
Parte D: Análisis
11. Explica por qué ¬q → ¬p es equivalente a p → q.
12. Un estudiante dibuja p → q como dos letras separadas sin burbujas. ¿Está correcto? Justifica.
Soluciones
Ver soluciones
1. ¬p ∨ q
2. ¬q → ¬p
3. Cuando p es verdadera y q es falsa
4. No, no son equivalentes
5. Falso
6. Siempre verdadera
7. (p → q) ∧ (q → p)
8. Una burbuja que contiene p
9. Como ¬p ∨ q (burbuja con p y q fuera)
10. No, porque falta la negación
11. Es la contraposición, mantiene el mismo valor lógico
12. No, falta la estructura de negación
Nota:
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.