Idea clave:
No todas las funciones cambian los valores de la misma manera. Algunas siempre dan el mismo resultado, y otras dejan cada valor tal como está.

Definición intuitiva:
Una función constante es aquella que, sin importar el valor de entrada, siempre produce la misma salida.

Definición formal:
Una función constante es una función f: A → B tal que existe un valor c en B para el cual:

Ejemplo:
f(x) = 5

Entonces:
f(1) = 5
f(2) = 5
f(10) = 5
f(-3) = 5

En una función constante, todas las flechas llegan al mismo valor.

Tabla de valores:

x: -2    -1    0    1    2
f(x): 5    5    5    5    5

Interpretación gráfica:
Su gráfica es una recta horizontal.

Definición intuitiva:
La función identidad deja cada número igual. Lo que entra, sale igual.

Definición formal:
La función identidad sobre un conjunto A es la función id: A → A definida por:

Ejemplo:
id(x) = x

Entonces:
id(1) = 1
id(2) = 2
id(7) = 7
id(-4) = -4

En la función identidad, cada elemento apunta a sí mismo.

Tabla de valores:

x: -2    -1    0    1    2
id(x): -2    -1    0    1    2

Interpretación gráfica:
Su gráfica es la recta y = x.

Comparación:

Función constante: todos los valores de entrada producen la misma salida.
Función identidad: cada valor de entrada produce exactamente el mismo valor como salida.

Ejemplo comparativo:

Si x = 3:
Función constante f(x)=5 → f(3)=5
Función identidad id(x)=x → id(3)=3

Ejemplo de función constante:
f(x)=2

Ejemplo de función identidad:
g(x)=x

Otro ejemplo de función constante:
h(x)=-4

❌ Pensar que la función constante cambia con x
❌ Confundir la función identidad con “cualquier función parecida a x”
❌ Creer que f(x)=0 no es función
❌ Olvidar que la identidad va de un conjunto en sí mismo

Resumen:
Una función constante cumple:
f(x)=c para todo x

La función identidad cumple:
id(x)=x para todo x

La constante siempre da el mismo valor.
La identidad devuelve el mismo valor que entra.

Idea clave:
A partir de la función identidad f(x)=x podemos generar muchas funciones aplicando transformaciones como traslaciones y reflexiones.

Función base:
f(x) = x

Esta función representa una recta que pasa por el origen con pendiente 1.

Toda transformación que hagamos será una modificación de esta recta.

Idea:
Sumar o restar un número mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo:
f(x) = x + 3 → la recta sube 3 unidades
f(x) = x – 2 → la recta baja 2 unidades

La forma no cambia, solo su posición.

Idea:
Cambiar la x dentro de la función mueve la gráfica a la izquierda o derecha.

Ejemplo:
f(x) = x – 3 → la gráfica se mueve 3 unidades a la derecha
f(x) = x + 2 → la gráfica se mueve 2 unidades a la izquierda

⚠️ Ojo: el signo se invierte (esto siempre confunde).

Idea:
Multiplicar por -1 cambia todos los valores de salida.

Resultado:
La recta se refleja, cambiando su pendiente de positiva a negativa.

Idea:
Cambiar x por -x refleja la gráfica horizontalmente.

Ejemplo:
Para f(x)=x → f(-x) = -x

Se obtiene la misma recta que la reflexión anterior.

Ejemplo:

f(x) = -x + 2

Transformaciones:
• Reflexión (cambia pendiente)
• Traslación vertical (sube 2)

Otro ejemplo:

f(x) = (x – 3) + 1

• Se mueve a la derecha 3
• Luego sube 1

Toda función lineal se puede ver como una transformación de la función identidad.

❌ Confundir izquierda con derecha en (x – a)
❌ Pensar que +c cambia la pendiente
❌ No distinguir entre reflejar y trasladar
❌ Mezclar transformaciones sin orden

Resumen:

f(x)=x → base

f(x)=x+c → traslación vertical
f(x)=x-a → traslación horizontal
f(x)=-x → reflexión

Las funciones se construyen transformando otras más simples.

Instrucción: Describe la transformación respecto a f(x)=x.

Ejercicio 1:
f(x) = x + 3

Ejercicio 2:
f(x) = x – 5

Ejercicio 3:
f(x) = x – 2

Ejercicio 4:
f(x) = x – 3 (interpretado como traslación horizontal)

Ejercicio 5:
f(x) = x + 4 (interpretado como traslación horizontal)

Ejercicio 6:
f(x) = -x

Ejercicio 7:
f(x) = -x + 2

Ejercicio 8:
f(x) = -(x – 3)

Ejercicio 9:
f(x) = (x – 2) + 5

Ejercicio 10:
Describe la función que resulta de:
• mover f(x)=x 4 unidades abajo
• luego reflejarla

Conclusión:
Las funciones no se memorizan, se transforman.
Entender cómo se mueve una gráfica es entender la función.

Instrucciones:
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.

1. Expresa la implicación p → q como una disyunción.

2. Escribe la contraposición de p → q.

3. ¿Cuándo es falsa una implicación?

4. ¿p → q es equivalente a q → p? Justifica.

5. Si p es verdadera y q es falsa, evalúa p → q.

6. Si p es falsa, ¿qué ocurre con p → q?

7. Expresa p ↔ q usando implicaciones.

8. ¿Cómo se representa ¬p en un gráfico existencial?

9. Describe cómo representarías p → q en gráficos existenciales.

10. ¿Se puede representar una implicación sin burbujas? Explica.

11. Explica por qué ¬q → ¬p es equivalente a p → q.

12. Un estudiante dibuja p → q como dos letras separadas sin burbujas. ¿Está correcto? Justifica.

Nota:
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.