Fórmula Cuadrática

Método general, claro y paso a paso para resolver ecuaciones de segundo grado.

Idea central:
La fórmula cuadrática sirve para resolver ecuaciones de la forma:

ax² + bx + c = 0

con a ≠ 0.

Se usa sobre todo cuando la ecuación no se factoriza fácilmente o cuando queremos un método que funcione siempre.

Si:

ax² + bx + c = 0

entonces:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a)

En la ecuación:

ax² + bx + c = 0

• a es el coeficiente de x²,
• b es el coeficiente de x,
• c es el término independiente.

Y en la fórmula:

• -b significa cambiar el signo de b,
• ± significa que hay dos posibilidades: suma y resta,
• b² – 4ac se llama discriminante,
• 2a va en el denominador.

1. Ordenar la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0.
2. Identificar los valores de a, b y c.
3. Sustituir en la fórmula.
4. Calcular el discriminante: b² – 4ac.
5. Resolver la raíz cuadrada.
6. Hacer las dos operaciones: una con + y otra con –.
7. Simplificar.
8. Escribir las soluciones finales.

Problema:
Resolver:

x² – 5x + 6 = 0

Paso a paso

Paso 1. Ordenar
Ya está ordenada:
x² – 5x + 6 = 0

Paso 2. Identificar a, b y c
a = 1
b = -5
c = 6

Paso 3. Sustituir en la fórmula
x = (-(-5) ± √((-5)² – 4(1)(6))) / (2(1))

Paso 4. Resolver signos y potencias
x = (5 ± √(25 – 24)) / 2

Paso 5. Resolver la raíz
x = (5 ± √1) / 2
x = (5 ± 1) / 2

Paso 6. Hacer las dos cuentas

Primera solución:
x = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3

Segunda solución:
x = (5 – 1)/2 = 4/2 = 2

Resultado final:
x = 3 y x = 2

Problema:
Resolver:

2x² + 3x – 2 = 0

Paso a paso

Paso 1. Identificar
a = 2
b = 3
c = -2

Paso 2. Sustituir
x = (-3 ± √(3² – 4(2)(-2))) / (2(2))

Paso 3. Resolver potencias y productos
x = (-3 ± √(9 + 16)) / 4
x = (-3 ± √25) / 4

Paso 4. Resolver la raíz
x = (-3 ± 5) / 4

Paso 5. Hacer las dos cuentas

Primera solución:
x = (-3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2

Segunda solución:
x = (-3 – 5)/4 = -8/4 = -2

Resultado final:
x = 1/2 y x = -2

Problema:
Resolver:

x² + x + 1 = 0

Paso a paso

Paso 1. Identificar
a = 1
b = 1
c = 1

Paso 2. Sustituir
x = (-1 ± √(1² – 4(1)(1))) / (2(1))

Paso 3. Resolver el discriminante
x = (-1 ± √(1 – 4)) / 2
x = (-1 ± √(-3)) / 2

Conclusión:
Como aparece una raíz cuadrada de un número negativo, no hay raíces reales.

En números complejos:
x = (-1 ± i√3)/2

La expresión:

Δ = b² – 4ac

se llama discriminante.

Si Δ > 0, hay dos raíces reales distintas.

Si Δ = 0, hay una raíz real doble.

Si Δ < 0, no hay raíces reales; aparecen raíces complejas.

Ejemplo A: x² – 5x + 6

Δ = 25 – 24 = 1 > 0 → dos raíces reales

Ejemplo B: x² – 4x + 4

Δ = 16 – 16 = 0 → una raíz doble

Ejemplo C: x² + x + 1

Δ = 1 – 4 = -3 < 0 → no hay raíces reales

La fórmula cuadrática no aparece por arte de magia.

Sale del proceso de completar el cuadrado en la ecuación general:

ax² + bx + c = 0

Es decir, es una consecuencia algebraica rigurosa.

Error 1. Tomar mal el signo de b.

Si la ecuación es x² – 5x + 6, entonces b = -5.

Error 2. Olvidar los paréntesis.

Debe escribirse (-5)², no -5².

Error 3. Olvidar el símbolo ±.

Eso haría perder una de las soluciones.

Error 4. Resolver mal el discriminante.

Primero potencias y productos; luego sumas o restas.

1. Ordenar.
2. Identificar a, b y c.
3. Sustituir en la fórmula.
4. Calcular el discriminante.
5. Resolver las dos soluciones.

Frase clave:

Ordeno, identifico a, b y c, sustituyo, calculo el discriminante y luego saco las dos soluciones.

Ejercicios: Fórmula Cuadrática

Aplica el método paso a paso y verifica tus resultados.

Ejercicio 1

Resolver:

x² – 5x + 6 = 0

Ver solución paso a paso

a = 1, b = -5, c = 6

x = (-(-5) ± √((-5)² – 4·1·6)) / (2·1)

x = (5 ± √(25 – 24)) / 2

x = (5 ± 1)/2

x = 3, x = 2

Ejercicio 2

Resolver:

x² + 4x + 4 = 0

Ver solución paso a paso

a = 1, b = 4, c = 4

x = (-4 ± √(16 – 16))/2

x = (-4 ± 0)/2

x = -2

Raíz doble

Ejercicio 3

Resolver:

x² + x + 1 = 0

Ver solución paso a paso

a = 1, b = 1, c = 1

x = (-1 ± √(1 – 4))/2

x = (-1 ± √(-3))/2

No tiene soluciones reales

Ejercicio 4

Resolver:

2x² + 3x – 2 = 0

Ver solución paso a paso

a = 2, b = 3, c = -2

x = (-3 ± √(9 + 16))/4

x = (-3 ± 5)/4

x = 1/2, x = -2

Ejercicio 5

Resolver:

3x² – x – 2 = 0

Ver solución paso a paso

a = 3, b = -1, c = -2

x = (1 ± √(1 + 24))/6

x = (1 ± √25)/6

x = (1 ± 5)/6

x = 1, x = -2/3

Ejercicio 6

Determina el tipo de raíces (sin resolver completamente):

x² – 6x + 10 = 0

Ver solución

Δ = 36 – 40 = -4

No tiene raíces reales

Ejercicio 7

Determina el tipo de raíces:

x² – 4x + 4 = 0

Ver solución

Δ = 16 – 16 = 0

Una raíz doble

Ejercicio 8

Resolver:

5x² + x – 1 = 0

Ver solución paso a paso

a = 5, b = 1, c = -1

x = (-1 ± √(1 + 20))/10

x = (-1 ± √21)/10

Raíces irracionales

Clave final:

• Siempre identifica bien a, b y c.
• No olvides los signos.
• Calcula primero el discriminante.
• Recuerda: ± significa dos soluciones.