Factorización por Suma y Producto
Método para factorizar trinomios a partir de la reconstrucción de sus términos.
Dado un trinomio de la forma x² + bx + c, buscamos dos números que:
✔ al multiplicarse den c
✔ al sumarse den b
Definición
Un trinomio de la forma:
x² + bx + c
se factoriza como:
(x + m)(x + n)
si se cumple que:
- m + n = b
- m · n = c
Método paso a paso
- Ordenar el polinomio.
- Completar si hace falta (especialmente el término en x).
- Identificar b (coeficiente de x) y c (término independiente).
- Buscar dos números que:
- sumen b
- multipliquen c
- Escribir los binomios.
- Verificar multiplicando.
Ejemplo 1
Factorizar:
x² + 5x + 6
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.
Paso 2. Identificar
b = 5, c = 6
Paso 3. Buscar números
2 y 3 porque:
2 + 3 = 5
2 · 3 = 6
Paso 4. Factorizar
(x + 2)(x + 3)
Verificación
(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6
Ejemplo 2
Factorizar:
x² – 5x + 6
Paso 1. Identificar
b = -5, c = 6
Paso 2. Buscar números
-2 y -3
Paso 3. Factorizar
(x – 2)(x – 3)
Ejemplo 3 (producto negativo)
Factorizar:
x² + x – 6
Buscar números:
3 y -2
Resultado:
(x + 3)(x – 2)
Caso clave: término lineal faltante
Factorizar:
x² – 9
Paso 1. Completar
x² + 0x – 9
Paso 2. Buscar números
3 y -3
Resultado:
(x + 3)(x – 3)
Observación:
Este es el mismo resultado que la diferencia de cuadrados.
x² + x + 1
No existen dos números que:
✔ multipliquen 1
✔ sumen 1
👉 Por tanto, no se puede factorizar en ℝ[x].
👉 Es un polinomio irreducible.
La diferencia de cuadrados:
x² – 9
es en realidad un caso de suma y producto donde:
b = 0 y c = -9.
Busco dos números que reconstruyan el polinomio:
que al multiplicarse den el término independiente
y al sumarse den el coeficiente de x.
Ejercicios: Suma y Producto
Intenta primero. Luego verifica paso a paso.
Ejercicio 1
Factoriza:
x² + 7x + 12
Ver solución
b = 7, c = 12
Buscamos dos números:
3 y 4 → 3+4=7, 3·4=12
Resultado: (x+3)(x+4)
Ejercicio 2
Factoriza:
x² – 6x + 8
Ver solución
b = -6, c = 8
-2 y -4
Resultado: (x-2)(x-4)
Ejercicio 3
Factoriza:
x² + 2x – 15
Ver solución
b = 2, c = -15
5 y -3
Resultado: (x+5)(x-3)
Ejercicio 4
Factoriza:
x² – 9
Ver solución
Completamos:
x² + 0x – 9
3 y -3
Resultado: (x+3)(x-3)
Observación: caso especial → diferencia de cuadrados
Ejercicio 5
Factoriza:
x² + x + 1
Ver solución
b = 1, c = 1
No existen números que cumplan ambas condiciones.
Conclusión: irreducible en ℝ[x]
Ejercicio 6
Factoriza:
x² – x – 20
Ver solución
b = -1, c = -20
-5 y 4
Resultado: (x-5)(x+4)
Ejercicio 7
Factoriza:
x² – 16
Ver solución
x² + 0x – 16
4 y -4
Resultado: (x+4)(x-4)
Si no encuentras los dos números, el polinomio probablemente es irreducible (en ese conjunto).