División de Polinomios

Explicación clara, ordenada y paso a paso.

Idea fundamental:
Dividir polinomios consiste en encontrar qué polinomio, al multiplicarse por el divisor, reconstruye el dividendo total o parte de él.
El proceso se hace siempre empezando por los términos de mayor grado.

Regla:
Siempre se divide primero el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor.

Paso 1. Ordenar

Escribir dividendo y divisor de mayor a menor grado.

Paso 2. Completar

Si faltan términos intermedios, se agregan con coeficiente 0.

Ejemplo:
(x³ + 2x – 5) ÷ (x – 1)

Paso 1. Ordenar

El dividendo ya está ordenado:

x³ + 2x – 5

Paso 2. Completar

Falta el término en x², así que lo escribimos:

x³ + 0x² + 2x – 5

Paso 3. Dividir los términos principales

Se divide:

x³ ÷ x = x²

Ese será el primer término del cociente.

Paso 4. Multiplicar

Multiplicamos ese término por todo el divisor:

x²(x – 1) = x³ – x²

Paso 5. Restar

Ahora restamos:

(x³ + 0x² + 2x – 5) – (x³ – x²)

Resultado: x² + 2x – 5

Paso 6. Repetir

Dividimos otra vez los términos principales:

x² ÷ x = x

Ese será el siguiente término del cociente.

Paso 7. Multiplicar

Multiplicamos:

x(x – 1) = x² – x

Paso 8. Restar

Restamos:

(x² + 2x – 5) – (x² – x)

Resultado: 3x – 5

Paso 9. Repetir

Dividimos otra vez:

3x ÷ x = 3

Ese será el siguiente término del cociente.

Paso 10. Multiplicar

Multiplicamos:

3(x – 1) = 3x – 3

Paso 11. Restar

Restamos:

(3x – 5) – (3x – 3)

Resultado: -2

Paso 12. Detenerse

El residuo es -2, que tiene grado 0.
El divisor x – 1 tiene grado 1.
Como el grado del residuo es menor, ya no se puede seguir.

Cociente: x² + x + 3

Residuo: -2

División: (x³ + 2x – 5) ÷ (x – 1) = x² + x + 3 + (-2)/(x – 1)

Ejemplo:
(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)

Paso 1: x² ÷ x = x

Paso 2: x(x + 2) = x² + 2x

Paso 3: (x² + 5x + 6) – (x² + 2x) = 3x + 6

Paso 4: 3x ÷ x = 3

Paso 5: 3(x + 2) = 3x + 6

Paso 6: (3x + 6) – (3x + 6) = 0

Resultado:
(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3

Aquí la división es exacta porque el residuo es 0.

• Siempre ordenar.
• Siempre completar.
• Dividir solo los términos principales.
• Multiplicar todo el divisor.
• Restar con cuidado.
• Repetir hasta que el residuo tenga menor grado que el divisor.

Frase guía:
Divido, multiplico, resto y repito.

Ejercicios: División de Polinomios

Intenta primero. Luego verifica paso a paso.

Ejercicio 1

(x² + 3x + 2) ÷ (x + 1)

Ver solución paso a paso

Ordenar: x² + 3x + 2

Dividir: x² ÷ x = x

Multiplicar: x(x + 1) = x² + x

Restar: (x² + 3x + 2) – (x² + x) = 2x + 2

Dividir: 2x ÷ x = 2

Multiplicar: 2(x + 1) = 2x + 2

Restar: 0

Resultado: x + 2

Ejercicio 2

(x³ + x² – x – 1) ÷ (x + 1)

Ver solución

Dividir: x³ ÷ x = x²

Multiplicar: x²(x + 1) = x³ + x²

Restar: -x – 1

Dividir: -x ÷ x = -1

Multiplicar: -1(x + 1) = -x – 1

Restar: 0

Resultado: x² – 1

Ejercicio 3

(x³ + 2x – 4) ÷ (x – 2)

Ver solución

Completar: x³ + 0x² + 2x – 4

Dividir: x³ ÷ x = x²

Multiplicar: x²(x – 2) = x³ – 2x²

Restar: 2x² + 2x

Dividir: 2x² ÷ x = 2x

Multiplicar: 2x(x – 2) = 2x² – 4x

Restar: 6x – 4

Dividir: 6x ÷ x = 6

Multiplicar: 6(x – 2) = 6x – 12

Restar: 8

Resultado: x² + 2x + 6 + 8/(x – 2)

Ejercicio 4

(2x³ + 3x² – x + 5) ÷ (x + 2)

Ver solución

Dividir: 2x³ ÷ x = 2x²

Multiplicar: 2x²(x + 2) = 2x³ + 4x²

Restar: -x² – x

Dividir: -x² ÷ x = -x

Multiplicar: -x(x + 2) = -x² – 2x

Restar: x + 5

Dividir: x ÷ x = 1

Multiplicar: 1(x + 2) = x + 2

Restar: 3

Resultado: 2x² – x + 1 + 3/(x + 2)

Ejercicio 5

(x³ – 4x² + 4x) ÷ (x – 2)

Ver solución

Dividir: x³ ÷ x = x²

Multiplicar: x²(x – 2) = x³ – 2x²

Restar: -2x² + 4x

Dividir: -2x² ÷ x = -2x

Multiplicar: -2x(x – 2) = -2x² + 4x

Restar: 0

Resultado: x² – 2x

Consejo clave:
Si te equivocas en la resta, todo se rompe.
Aquí es donde más errores cometen los estudiantes.