División de polinomios

Objetivo

Desarrollar en los estudiantes la capacidad de abordar la división de polinomios siguiendo un proceso ordenado, claro y sistemático, en el que cada paso tenga sentido y propósito. Se busca que aprendan a organizar la información, completar lo que hace falta, proceder con cuidado en cada operación y mantener limpieza en su trabajo, evitando errores por desorden o improvisación.

Más allá del contenido matemático, este ejercicio pretende fortalecer hábitos fundamentales como la disciplina, la atención al detalle y la responsabilidad en el desarrollo de un proceso. Comprender que avanzar paso a paso, con claridad y coherencia, no solo permite resolver correctamente un problema matemático, sino que también es una forma de enfrentar situaciones en la vida: con orden, paciencia y rigor.

Algoritmo a seguir:

  1. Organizar el dividendo y el divisor.
  2. Completar los términos faltantes con coeficiente cero.
  3. Dividir el primer término.
  4. Multiplicar.
  5. Cambiar signos, poner debajo y restar.
  6. Dividir nuevamente el primer término del resultado obtenido.
  7. Multiplicar.
  8. Cambiar signos, poner debajo y restar.
  9. Repetir el proceso hasta terminar.

Regla importante

Cuando se resta el polinomio obtenido en la multiplicación:

A – (B + C – D) = A – B – C + D

Es decir: se cambian los signos del polinomio que se escribe debajo y luego se resta término a término.

Ejemplo 1: polinomio desordenado

Dividir:

(5x + x² + 6) ÷ (x + 2)

Paso 0. Organizar

5x + x² + 6 = x² + 5x + 6

Paso 1. Completar

x² + 5x + 6

Paso 2. Dividir el primer término

x² / x = x

Paso 3. Multiplicar

x(x + 2) = x² + 2x

Paso 4. Cambiar signos, poner debajo y restar

x² + 5x + 6
-x² – 2x
———-
3x + 6

 

 

Paso 2. Repetir

3x / x = 3

Paso 3. Multiplicar

3(x + 2) = 3x + 6

Paso 4. Restar

3x + 6
-3x – 6
——–

 

 

Resultado

Cociente: x + 3    Residuo: 0

 

 

Ejemplo 2: términos faltantes

(2x²+x⁴ – 3) ÷ (x + 1)

Paso 0. Ordenar

 

2x²+x⁴- 3=x⁴ + 2x² – 3

 

y x+1 ya está ordenado 

Paso 1. Completar

x⁴ + 0x³ + 2x² + 0x – 3

Paso 2. Dividir

x⁴ / x = x³

Paso 3. Multiplicar

x³(x + 1) = x⁴ + x³

Paso 4. Restar

x⁴ + 0x³ + 2x² + 0x – 3
-x⁴ – x³
————————
-x³ + 2x² + 0x – 3

 

 

Paso 2. Repetimos (Dividimos)

-x³ / x = -x²

Paso 3 Multiplicamos

-x²(x + 1) = -x³ – x²

Paso 4 Restamos

-x³ + 2x² + 0x – 3
+x³ + x²
——————–
3x² + 0x – 3

 

 

Paso 2. Repetir (Dividir)

3x² / x = 3x

Paso 3. Multiplicar

3x(x + 1) = 3x² + 3x

Paso 4. Restar

3x² + 0x – 3
-3x² – 3x
—————-
-3x – 3

 

Paso 2. Repetir (Dividir)

-3x / x = -3

 

Paso 3. Multiplicar

 

-3(x + 1) = -3x – 3

 

Paso 4. Restar

-3x – 3
+3x + 3
——–
0

 

 

Resultado

Cociente: x³ – x² + 3x – 3    Residuo: 0

 





Ejercicios con solución


Ejercicios con solución paso a paso

1.

(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)
Ver solución

Paso 1: Ordenar (ya está ordenado)

Paso 2: Completar (no falta ningún término)

Paso 3: Dividir

x² / x = x

Paso 4: Multiplicar

x(x+2) = x² + 2x

Paso 5: Restar

x² + 5x + 6
-x² – 2x
———-
3x + 6

Paso 6: Dividir nuevamente

3x / x = 3

Paso 7: Multiplicar

3(x+2) = 3x + 6

Paso 8: Restar

3x + 6
-3x – 6
——–
0

Resultado: Cociente = x + 3, Residuo = 0

2.

(x³ + 4x – 7) ÷ (x – 3)
Ver solución

Paso 1: Completar

x³ + 0x² + 4x – 7

Paso 2: Dividir

x³ / x = x²

Paso 3: Multiplicar

x²(x-3) = x³ – 3x²

Paso 4: Restar

x³ + 0x² + 4x – 7
-x³ + 3x²
———–
3x² + 4x – 7

Paso 5: Dividir

3x² / x = 3x

Paso 6: Multiplicar

3x(x-3) = 3x² – 9x

Paso 7: Restar

3x² + 4x – 7
-3x² + 9x
———–
13x – 7

Paso 8: Dividir

13x / x = 13

Paso 9: Multiplicar

13(x-3) = 13x – 39

Paso 10: Restar

13x – 7
-13x + 39
———-
32

Resultado: Cociente = x² + 3x + 13, Residuo = 32