Idea clave:
La distancia más corta entre un punto y una recta es la longitud de la perpendicular.

Tenemos:
• Un punto P(x₀, y₀)
• Una recta: Ax + By + C = 0

Queremos medir la distancia más corta desde el punto hasta la recta.

La distancia se mide sobre una recta perpendicular.

Entonces necesitamos:

• La dirección perpendicular a la recta
• El “desplazamiento” del punto en esa dirección

La recta Ax + By + C = 0 tiene un vector perpendicular (normal):

n = (A, B)

Este vector apunta en la dirección perpendicular a la recta.

La distancia será la proyección del punto sobre el vector normal.

Esa proyección se calcula evaluando la recta en el punto:

Ax₀ + By₀ + C

El valor Ax₀ + By₀ + C no es una distancia real todavía.

Porque el vector (A,B) no mide 1.

Entonces debemos dividir por su longitud:

√(A² + B²)

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Numerador → cuánto se aleja el punto de la recta

Denominador → normaliza esa distancia

Punto: (1,2)
Recta: 2x + y – 3 = 0

Paso 1: Evaluamos la recta en el punto.
2(1) + 1(2) – 3 = 1

Paso 2: Calculamos la norma del vector.
√(2² + 1²) = √5

Paso 3: Calculamos la distancia.
d = 1 / √5

Distancia = proyección perpendicular normalizada

Idea clave:
La distancia más corta entre un punto y una recta es una línea perpendicular.

Recta: Ax + By + C = 0
Punto: (x₀, y₀)

La fórmula mide qué tan lejos está el punto en dirección perpendicular a la recta.

Encuentra la distancia del punto (1,2) a la recta:
2x + y – 3 = 0

Paso 1: Identificamos A, B y C.
A = 2, B = 1, C = -3

Paso 2: Sustituimos el punto (1,2).
|2(1) + 1(2) – 3| = |2 + 2 – 3| = |1|

Paso 3: Calculamos el denominador.
√(2² + 1²) = √(4 + 1) = √5

Paso 4: Calculamos la distancia.
d = 1 / √5

Punto: (2,-1)
Recta: x – 2y + 4 = 0

Paso 1:
A = 1, B = -2, C = 4

Paso 2:
|1(2) – 2(-1) + 4| = |2 + 2 + 4| = 8

Paso 3:
√(1² + (-2)²) = √5

Resultado:
d = 8 / √5

La distancia siempre se mide en línea perpendicular, no en cualquier dirección.

❌ No usar valor absoluto
❌ Olvidar pasar la recta a forma general
❌ Errores con signos
❌ No calcular bien la raíz

Distancia = proyección perpendicular del punto sobre la recta.

Instrucción: Encuentra la recta perpendicular.

Ejercicio 1:
Recta: y = 3x + 2
Pasa por (0,1)

Ejercicio 2:
Recta: y = -2x + 5
Pasa por (1,2)

Ejercicio 3:
Recta: y = 4x – 1
Pasa por (-1,0)

Ejercicio 4:
Recta horizontal: y = 3
Pasa por (2,1)

Ejercicio 5:
Recta: y = 1/2x + 4
Pasa por (0,0)

Conclusión:
Las rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y de signo contrario.

Instrucción: Calcula la distancia paso a paso.

Ejercicio 1:
Punto: (1,1)
Recta: x + y – 2 = 0

Ejercicio 2:
Punto: (0,2)
Recta: x + y – 1 = 0

Ejercicio 3:
Punto: (2,3)
Recta: 2x – y + 1 = 0

Ejercicio 4:
Punto: (-1,2)
Recta: x – y + 3 = 0

Ejercicio 5:
Punto: (3,0)
Recta: 3x + 4y – 6 = 0

Conclusión:
La distancia se mide siempre en dirección perpendicular a la recta.

Instrucciones:
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.

1. Expresa la implicación p → q como una disyunción.

2. Escribe la contraposición de p → q.

3. ¿Cuándo es falsa una implicación?

4. ¿p → q es equivalente a q → p? Justifica.

5. Si p es verdadera y q es falsa, evalúa p → q.

6. Si p es falsa, ¿qué ocurre con p → q?

7. Expresa p ↔ q usando implicaciones.

8. ¿Cómo se representa ¬p en un gráfico existencial?

9. Describe cómo representarías p → q en gráficos existenciales.

10. ¿Se puede representar una implicación sin burbujas? Explica.

11. Explica por qué ¬q → ¬p es equivalente a p → q.

12. Un estudiante dibuja p → q como dos letras separadas sin burbujas. ¿Está correcto? Justifica.

Nota:
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.