Cubo del Binomio
Desarrollo y reconocimiento paso a paso de potencias de grado 3.
Elevar un binomio al cubo significa multiplicarlo tres veces por sí mismo.
Esto genera un polinomio de cuatro términos con una estructura específica.
Formas generales
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Observa:
- Los extremos son cubos.
- Los términos del medio tienen coeficiente 3.
- El signo alterna en el caso negativo.
Método paso a paso (expansión)
- Identificar el binomio.
- Identificar a y b.
- Aplicar la estructura del cubo.
- Sustituir.
- Simplificar.
Ejemplo 1
Desarrollar:
(x + 3)³
Paso 1: a = x, b = 3
Paso 2: Aplicar fórmula
x³ + 3x²(3) + 3x(3²) + 3³
Paso 3: Simplificar
x³ + 9x² + 27x + 27
Ejemplo 2
Desarrollar:
(x – 2)³
Paso 1: a = x, b = 2
Paso 2: Aplicar fórmula
x³ – 3x²(2) + 3x(2²) – 2³
Paso 3: Simplificar
x³ – 6x² + 12x – 8
Reconocimiento inverso
Dado:
x³ + 9x² + 27x + 27
Paso 1: Tiene 4 términos ✔
Paso 2: Extremos son cubos
x³ = (x)³
27 = (3)³
Paso 3: Verificar términos del medio
3(x²)(3) = 9x² ✔
3(x)(3²) = 27x ✔
Resultado: (x + 3)³
Ejemplo con factor común
Factorizar:
2x³ + 54
Paso 1: Factor común
2(x³ + 27)
Paso 2: Reconocer cubo
x³ + 3³
Paso 3: Aplicar suma de cubos
2(x + 3)(x² – 3x + 9)
Errores comunes
- Creer que cualquier polinomio de 4 términos es cubo.
- No verificar coeficientes 3.
- Confundir signos en el caso negativo.
Si veo cuatro términos, con cubos en los extremos y 3 en el medio, probablemente es un cubo de binomio.
Ejercicios: Cubo del Binomio
Desarrolla, reconoce y verifica estructuras.
Ejercicio 1
Desarrolla:
(x + 2)³
Ver solución
a=x, b=2
x³ + 3x²(2) + 3x(4) + 8
x³ + 6x² + 12x + 8
Ejercicio 2
Desarrolla:
(x – 4)³
Ver solución
x³ – 3x²(4) + 3x(16) – 64
x³ – 12x² + 48x – 64
Ejercicio 3
Desarrolla:
(2x + 3)³
Ver solución
(2x)³ + 3(2x)²(3) + 3(2x)(9) + 27
8x³ + 36x² + 54x + 27
Ejercicio 4
Reconoce y factoriza:
x³ + 6x² + 12x + 8
Ver solución
x³ = (x)³
8 = (2)³
3(x²)(2) = 6x²
3(x)(4) = 12x
(x + 2)³
Ejercicio 5
Reconoce y factoriza:
x³ – 9x² + 27x – 27
Ver solución
27 = 3³
Patrón: (a – b)³
(x – 3)³
Ejercicio 6
¿Es cubo de binomio?
x³ + 3x² + 3x + 1
Ver solución
1 = 1³
Coincide con patrón
(x + 1)³
Ejercicio 7
¿Es cubo de binomio?
x³ + 5x² + 8x + 4
Ver solución
4 no es cubo perfecto
No cumple patrón
No es cubo de binomio
Ejercicio 8
Factoriza completamente:
2x³ + 54
Ver solución
Factor común: 2
2(x³ + 27)
Suma de cubos
2(x + 3)(x² – 3x + 9)
No memorices. Reconoce la estructura:
extremos cúbicos + coeficientes 3.