Tema 3. Notación de conjuntos y lenguaje lógico

En esta sección estudiaremos una parte más formal del lenguaje de los conjuntos:
cómo describir un conjunto de distintas maneras, cómo traducir expresiones del
lenguaje cotidiano al lenguaje matemático y cómo interpretar los conectores
lógicos que aparecen en la notación.

1. Dos formas de describir un conjunto

Forma extensiva o por extensión

Consiste en escribir uno por uno los elementos del conjunto,
separados por comas y encerrados entre llaves.

P = {2, 4, 6, 8}

Forma intensiva o por comprensión

Consiste en describir la propiedad que cumplen los elementos del conjunto.

P = {x | x es un número par y x < 10}

Idea clave

La forma extensiva enumera elementos.
La forma intensiva describe una condición.

Ejemplo equivalente

P = {2, 4, 6, 8}

P = {x | x es un número par y x < 10}

Ambas expresiones representan el mismo conjunto.

2. Cómo se lee la notación intensiva

Lectura

En expresiones como

{x | condición}

la barra vertical | se lee como “tal que”.

Ejemplo

A = {x | x es un número impar y x < 10}

Se lee:

“A es el conjunto de los elementos x tales que x es un número impar y x es menor que 10”.

3. Pertenencia y variable de trabajo

Símbolo de pertenencia

El símbolo ∈ significa “pertenece a”.
El símbolo ∉ significa “no pertenece a”.

Ejemplo

x ∈ G

significa que x pertenece al conjunto G.

Idea clave

Cuando escribimos una definición intensiva, la variable
representa un elemento cualquiera del conjunto que estamos describiendo.

4. Conectores lógicos

Definición

Para construir frases lógicas más precisas usamos conectores
como y, o y no.
En matemáticas estos conectores se representan con símbolos.

Símbolo	Nombre	Se lee como	Relación con conjuntos	Ejemplo
∧	Conjunción	y	Intersección	x ∈ D ∧ x ∈ G
∨	Disyunción	o	Unión	x ∈ D ∨ x ∈ P
¬	Negación	no	Complemento	¬(x ∈ G)

5. Traducción entre lenguaje natural y lenguaje matemático

Ejemplo 1

Frase:

“Estudiantes que tienen perros y gatos”

Notación de conjuntos:

D ∩ G

Notación lógica:

{x | x ∈ D ∧ x ∈ G}

Ejemplo 2

Frase:

“Estudiantes que tienen perros o pájaros”

Notación de conjuntos:

D ∪ P

Notación lógica:

{x | x ∈ D ∨ x ∈ P}

Ejemplo 3

Frase:

“Estudiantes que no tienen gatos”

Notación de conjuntos:

G’

Notación lógica:

{x | ¬(x ∈ G)}

6. Diferencia entre notación de conjuntos y notación lógica

Notación de conjuntos

Usa operaciones ya conocidas entre conjuntos:

D ∩ G, D ∪ P, G’, D – P

Notación lógica

Describe el mismo conjunto, pero a través de condiciones sobre un elemento:

{x | x ∈ D ∧ x ∈ G}

{x | x ∈ D ∨ x ∈ P}

{x | ¬(x ∈ G)}

Idea clave

La notación de conjuntos y la notación lógica no compiten:
expresan lo mismo desde dos puntos de vista distintos.

7. Ejemplos con conjuntos numéricos

Números naturales menores que 10

{n ∈ ℕ | n < 10}

Racionales mayores que -2 y menores que 5

{x ∈ ℚ | x > -2 ∧ x < 5}

Naturales que no son múltiplos de 3

{n ∈ ℕ | ¬(∃k ∈ ℕ, n = 3k)}

Cuidado

En una expresión como

{x ∈ ℚ | x > -2 ∧ x < 5}

no basta con mirar la desigualdad.
También importa el conjunto al que pertenece la variable, en este caso ℚ.

8. Cuantificadores lógicos

Cuantificador existencial

El símbolo ∃ significa “existe al menos uno”.

∃k ∈ ℕ, n = 2k

Cuantificador universal

El símbolo ∀ significa “para todo”.

Ejemplo

Para definir números pares:

{n ∈ ℕ | ∃k ∈ ℕ, n = 2k}

Esto significa que existe un número natural k tal que n se puede escribir como 2k.

9. Resumen

Resumen general

Un conjunto puede describirse por extensión o por comprensión.
La barra vertical se lee “tal que”.
El símbolo ∈ indica pertenencia.
Los conectores ∧, ∨ y ¬ corresponden a y, o, no.
La notación lógica expresa condiciones sobre un elemento.
La notación de conjuntos usa operaciones entre conjuntos.
Los cuantificadores ∃ y ∀ permiten escribir definiciones más precisas.

Ejercicios – Notación de conjuntos

Bloque 1. De forma extensiva a intensiva

1. Escribe en forma intensiva:

A = {2,4,6,8,10}

Ver solución

Son números pares positivos menores o iguales a 10.

A = {x ∈ ℕ | x es par ∧ x ≤ 10}

2. Escribe en forma intensiva:

B = {1,3,5,7,9}

Ver solución

Son números impares menores que 10.

B = {x ∈ ℕ | x es impar ∧ x < 10}

3. Escribe en forma intensiva:

C = {5,10,15,20}

Ver solución

Son múltiplos de 5.

C = {x ∈ ℕ | ∃k ∈ ℕ, x = 5k ∧ x ≤ 20}

Bloque 2. De lenguaje natural a notación

4. Expresa en notación de conjuntos:

“Estudiantes que tienen perro y gato”

Ver solución

D ∩ G

{x | x ∈ D ∧ x ∈ G}

5. Expresa en notación:

“Estudiantes que tienen perro o pájaro”

Ver solución

D ∪ P

{x | x ∈ D ∨ x ∈ P}

6. Expresa:

“Estudiantes que no tienen gato”

Ver solución

G’

{x | ¬(x ∈ G)}

Bloque 3. De notación a lenguaje

7. Interpreta:

{x ∈ ℕ | x > 3 ∧ x < 8}

Ver solución

Números naturales mayores que 3 y menores que 8.

8. Interpreta:

{x ∈ ℚ | x < 0}

Ver solución

Números racionales negativos.

9. Interpreta:

{x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Ver solución

Elementos que están en A o en B.

Bloque 4. Traducción completa

10. Traduce completamente:

{x ∈ ℕ | x es múltiplo de 3 ∧ x < 20}

Ver solución

Lenguaje natural:
Números naturales múltiplos de 3 menores que 20.

Forma extensiva:

{3,6,9,12,15,18}

11. Traduce:

“Números naturales pares menores que 12”

Ver solución

Forma intensiva:

{x ∈ ℕ | x es par ∧ x < 12}

Forma extensiva:

{2,4,6,8,10}