Composición de funciones

Idea clave:
Componer funciones es aplicar una función dentro de otra.

1. Definición

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Primero se aplica g, luego f.

2. Ejemplo básico

f(x)=x²
g(x)=x+1

(f ∘ g)(x)=f(x+1)=(x+1)²

3. Orden importa

(f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)

(g ∘ f)(x)=g(x²)=x²+1

4. Interpretación

Composición = proceso en dos pasos:

1. Transformar x con g
2. Aplicar f al resultado

Errores comunes

❌ Cambiar el orden
❌ No sustituir correctamente
❌ No usar paréntesis
❌ Pensar que es multiplicación

Resumen

(f ∘ g)(x)=f(g(x))

Primero g, luego f.

Ejercicios: Composición de funciones

Instrucción: Calcula paso a paso.

Ejercicio 1:
f(x)=x²
g(x)=x+3

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta

f(g(x))=(x+3)²

Ejercicio 2:
Encuentra (g ∘ f)(x)

Ver respuesta

g(x²)=x²+3

Ejercicio 3:
f(x)=2x
g(x)=x-1

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta

2(x-1)=2x-2

Ejercicio 4:
f(x)=x²+1
g(x)=2x

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta

f(2x)=(2x)²+1=4x²+1

Ejercicio 5:
f(x)=x+1
g(x)=x²

Encuentra (g ∘ f)(x)

Ver respuesta

(x+1)²

Ejercicio 6:
¿Son iguales (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x)? Justifica.

Ver respuesta

No, porque el orden cambia el resultado.

Ejercicio 7:
Construye dos funciones donde (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)

Ver respuesta

Ejemplo:
f(x)=x²
g(x)=x+1

Conclusión:
Componer funciones es encadenar procesos matemáticos.

Ejercicios: Composición de funciones paso a paso

Instrucción: Resuelve paso a paso. Recuerda: primero actúa la función de adentro y luego la de afuera.

Ejercicio 1:
f(x)=x²
g(x)=x+3

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(f ∘ g)(x)=f(g(x))

Paso 2: Sustituimos g(x)=x+3.
(f ∘ g)(x)=f(x+3)

Paso 3: Como f(x)=x², elevamos al cuadrado todo lo que entra.
f(x+3)=(x+3)²

Resultado:
(f ∘ g)(x)=(x+3)²

Ejercicio 2:
f(x)=x²
g(x)=x+3

Encuentra (g ∘ f)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(g ∘ f)(x)=g(f(x))

Paso 2: Sustituimos f(x)=x².
(g ∘ f)(x)=g(x²)

Paso 3: Como g(x)=x+3, sumamos 3 a lo que entra.
g(x²)=x²+3

Resultado:
(g ∘ f)(x)=x²+3

Ejercicio 3:
f(x)=2x
g(x)=x-1

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(f ∘ g)(x)=f(g(x))

Paso 2: Sustituimos g(x)=x-1.
(f ∘ g)(x)=f(x-1)

Paso 3: Como f(x)=2x, multiplicamos por 2 todo lo que entra.
f(x-1)=2(x-1)

Paso 4: Simplificamos.
2(x-1)=2x-2

Resultado:
(f ∘ g)(x)=2x-2

Ejercicio 4:
f(x)=x²+1
g(x)=2x

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(f ∘ g)(x)=f(g(x))

Paso 2: Sustituimos g(x)=2x.
(f ∘ g)(x)=f(2x)

Paso 3: Como f(x)=x²+1, reemplazamos x por 2x.
f(2x)=(2x)²+1

Paso 4: Simplificamos.
(2x)²+1=4x²+1

Resultado:
(f ∘ g)(x)=4x²+1

Ejercicio 5:
f(x)=x+1
g(x)=x²

Encuentra (g ∘ f)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(g ∘ f)(x)=g(f(x))

Paso 2: Sustituimos f(x)=x+1.
(g ∘ f)(x)=g(x+1)

Paso 3: Como g(x)=x², elevamos al cuadrado lo que entra.
g(x+1)=(x+1)²

Resultado:
(g ∘ f)(x)=(x+1)²

Ejercicio 6:
f(x)=3x-2
g(x)=x+4

Encuentra (f ∘ g)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(f ∘ g)(x)=f(g(x))

Paso 2: Sustituimos g(x)=x+4.
(f ∘ g)(x)=f(x+4)

Paso 3: Como f(x)=3x-2, reemplazamos x por (x+4).
f(x+4)=3(x+4)-2

Paso 4: Desarrollamos.
3(x+4)-2=3x+12-2

Paso 5: Simplificamos.
3x+12-2=3x+10

Resultado:
(f ∘ g)(x)=3x+10

Ejercicio 7:
f(x)=x-5
g(x)=2x+1

Encuentra (g ∘ f)(x)

Ver respuesta paso a paso

Paso 1: Escribimos la composición.
(g ∘ f)(x)=g(f(x))

Paso 2: Sustituimos f(x)=x-5.
(g ∘ f)(x)=g(x-5)

Paso 3: Como g(x)=2x+1, reemplazamos x por (x-5).
g(x-5)=2(x-5)+1

Paso 4: Desarrollamos.
2(x-5)+1=2x-10+1

Paso 5: Simplificamos.
2x-10+1=2x-9

Resultado:
(g ∘ f)(x)=2x-9

Conclusión:
Para resolver una composición, siempre debes:
1. escribir la composición,
2. sustituir la función interna,
3. aplicar la función externa,
4. simplificar con cuidado.

Evaluación: Implicación y Gráficos Existenciales

Instrucciones:
Responde sin usar la solución. Justifica cuando sea necesario.

Parte A: Conceptual

1. Expresa la implicación p → q como una disyunción.

2. Escribe la contraposición de p → q.

3. ¿Cuándo es falsa una implicación?

4. ¿p → q es equivalente a q → p? Justifica.

Parte B: Aplicación

5. Si p es verdadera y q es falsa, evalúa p → q.

6. Si p es falsa, ¿qué ocurre con p → q?

7. Expresa p ↔ q usando implicaciones.

Parte C: Gráficos Existenciales

8. ¿Cómo se representa ¬p en un gráfico existencial?

9. Describe cómo representarías p → q en gráficos existenciales.

10. ¿Se puede representar una implicación sin burbujas? Explica.

Parte D: Análisis

11. Explica por qué ¬q → ¬p es equivalente a p → q.

12. Un estudiante dibuja p → q como dos letras separadas sin burbujas. ¿Está correcto? Justifica.

Soluciones

Ver soluciones

1. ¬p ∨ q

2. ¬q → ¬p

3. Cuando p es verdadera y q es falsa

4. No, no son equivalentes

5. Falso

6. Siempre verdadera

7. (p → q) ∧ (q → p)

8. Una burbuja que contiene p

9. Como ¬p ∨ q (burbuja con p y q fuera)

10. No, porque falta la negación

11. Es la contraposición, mantiene el mismo valor lógico

12. No, falta la estructura de negación

Nota:
Esta evaluación mide comprensión conceptual, no solo memoria.