Binomio Cuadrado
Reconocimiento y factorización paso a paso de un trinomio cuadrado perfecto.
Un binomio cuadrado aparece cuando un trinomio proviene de multiplicar un binomio por sí mismo.
Por ejemplo:
(x + 3)² = x² + 6x + 9
(x – 5)² = x² – 10x + 25
Forma general
Un trinomio cuadrado perfecto tiene una de estas dos formas:
a² + 2ab + b²
a² – 2ab + b²
Y se factoriza como:
(a + b)²
(a – b)²
Método completo paso a paso
- Ordenar el polinomio.
- Completar si hace falta.
- Buscar primero si hay factor común.
- Verificar que tenga tres términos.
- Revisar si el primer término es un cuadrado perfecto.
- Revisar si el último término es un cuadrado perfecto.
- Sacar la raíz del primero y del último término.
- Verificar si el término del medio es el doble producto de esas raíces.
- Escribir el cuadrado del binomio correspondiente.
- Revisar si la factorización ya quedó completa.
Ejemplo 1
Factorizar:
x² + 6x + 9
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado: x² + 6x + 9
Paso 2. Completar
No hace falta completar porque ya tiene los tres términos.
Paso 3. Buscar factor común
No hay factor común distinto de 1.
Paso 4. Verificar que tiene tres términos
Sí:
x²
6x
9
Paso 5. Revisar si el primer término es cuadrado perfecto
x² = (x)²
Paso 6. Revisar si el último término es cuadrado perfecto
9 = (3)²
Paso 7. Sacar raíces
Raíz de x² = x
Raíz de 9 = 3
Paso 8. Verificar el término del medio
2(x)(3) = 6x
Sí coincide con el término del medio.
Paso 9. Escribir la factorización
(x + 3)²
Paso 10. Revisar si quedó completa
x + 3 es lineal, así que la factorización ya está completa.
Resultado final: (x + 3)²
Ejemplo 2
Factorizar:
x² – 10x + 25
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.
Paso 2. Completar
No hace falta.
Paso 3. Buscar factor común
No hay.
Paso 4. Verificar que tiene tres términos
Sí.
Paso 5. Primer término cuadrado perfecto
x² = (x)²
Paso 6. Último término cuadrado perfecto
25 = (5)²
Paso 7. Sacar raíces
x y 5
Paso 8. Verificar el término del medio
2(x)(5) = 10x
Como el término del medio es -10x, corresponde a:
-2ab
Paso 9. Escribir la factorización
(x – 5)²
Paso 10. Revisar si quedó completa
Sí, porque x – 5 es lineal.
Resultado final: (x – 5)²
Ejemplo 3
Factorizar:
4x² + 12x + 9
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.
Paso 2. Completar
No hace falta.
Paso 3. Buscar factor común
No hay factor común que simplifique completamente.
Paso 4. Verificar que tiene tres términos
Sí.
Paso 5. Primer término cuadrado perfecto
4x² = (2x)²
Paso 6. Último término cuadrado perfecto
9 = (3)²
Paso 7. Sacar raíces
2x y 3
Paso 8. Verificar término del medio
2(2x)(3) = 12x
Sí coincide.
Paso 9. Escribir la factorización
(2x + 3)²
Paso 10. Revisar si quedó completa
Sí, porque 2x + 3 es lineal.
Resultado final: (2x + 3)²
Ejemplo 4: cuando no funciona
Analizar:
x² + 8x + 12
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.
Paso 2. Completar
No hace falta.
Paso 3. Buscar factor común
No hay.
Paso 4. Verificar tres términos
Sí.
Paso 5. Primer término cuadrado perfecto
x² = (x)²
Paso 6. Último término cuadrado perfecto
12 no es cuadrado perfecto.
Conclusión
No es binomio cuadrado.
Puede factorizarse por otro método, pero no como trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo 5: primero factor común
Factorizar:
2x² + 4x + 2
Paso 1. Ordenar
Ya está ordenado.
Paso 2. Completar
No hace falta.
Paso 3. Buscar factor común
Todos los términos tienen factor común 2:
2(x² + 2x + 1)
Paso 4. Analizar el trinomio interior
x² + 2x + 1
Paso 5. Primer término cuadrado perfecto
x² = (x)²
Paso 6. Último término cuadrado perfecto
1 = (1)²
Paso 7. Sacar raíces
x y 1
Paso 8. Verificar el término del medio
2(x)(1) = 2x
Sí coincide.
Paso 9. Factorizar el trinomio interior
x² + 2x + 1 = (x + 1)²
Paso 10. Escribir el resultado completo
2(x + 1)²
Resultado final: 2(x + 1)²
Errores comunes
Error 1. Mirar solo el primero y el último término.
También hay que verificar el término del medio.
Error 2. No sacar primero el factor común.
Ejemplo: 2x² + 4x + 2
Error 3. Pensar que cualquier trinomio con x² al inicio es binomio cuadrado.
Ejemplo: x² + 8x + 12 no lo es.
Primero ordeno, luego completo si hace falta, saco factor común si existe, miro si el primero y el último son cuadrados perfectos, saco sus raíces y verifico si el término del medio es el doble producto.
Ejercicios: Binomio Cuadrado
Intenta primero. Luego verifica cada paso.
Ejercicio 1
Factoriza:
x² + 4x + 4
Ver solución
x² = (x)²
4 = (2)²
2(x)(2) = 4x ✔
Resultado: (x + 2)²
Ejercicio 2
x² – 8x + 16
Ver solución
x² = (x)²
16 = (4)²
2(x)(4) = 8x → coincide con -8x
Resultado: (x – 4)²
Ejercicio 3
9x² + 12x + 4
Ver solución
9x² = (3x)²
4 = (2)²
2(3x)(2) = 12x ✔
Resultado: (3x + 2)²
Ejercicio 4
16x² – 24x + 9
Ver solución
16x² = (4x)²
9 = (3)²
2(4x)(3) = 24x → coincide con -24x
Resultado: (4x – 3)²
Ejercicio 5
x² + 6x + 10
Ver solución
10 no es cuadrado perfecto
Conclusión: No es binomio cuadrado
Ejercicio 6
2x² + 4x + 2
Ver solución
Factor común:
2(x² + 2x + 1)
x² = (x)²
1 = (1)²
2(x)(1) = 2x ✔
Resultado: 2(x + 1)²
Ejercicio 7
25x² + 20x + 4
Ver solución
25x² = (5x)²
4 = (2)²
2(5x)(2) = 20x ✔
Resultado: (5x + 2)²
Ejercicio 8
x² – 12x + 30
Ver solución
30 no es cuadrado perfecto
Conclusión: No es binomio cuadrado
No basta con que el primero y el último sean cuadrados.
El término del medio debe ser exactamente el doble producto.